mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Ιούλ 16, 2011 10:16 pm**

Αν $f(x) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{x^{^2 } - 1}}{{x^3 - 1}}{\rm{ }}{\rm{, x}} < 1 \\ {\rm{ }} \\ \frac{1}{x}{\rm{ }}{\rm{, x}} > {\rm{1}} \\ \end{array} \right.$ , να υπολογιστεί το :

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1^ + } f\left( {f(x)} \right)$

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιούλ 17, 2011 8:56 am**

Για x>1 είναι $0 < f(x) = \frac{1}{x} < 1$ ,

με $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1^ + } f(x) = 1$ , οπότε αν θέσουμε:

u=f(x) , έχουμε

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1^ + } f\left( {f(x)} \right) = \mathop {\lim }\limits_{u \to 1^ - } f(u) = \mathop {\lim }\limits_{u \to 1^ - } \frac{{u + 1}}{{u^2 + u + 1}} = \frac{2}{3}$

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιούλ 17, 2011 12:05 pm**

Για λόγους πληρότητας, ας υπολογιστεί και το άλλο όριο.
Για $\displaystyle{x<1}$ είναι $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 1^{-}}\frac{x^{2}-1}{x^{3}-1}=\lim_{x \rightarrow 1^{-}}\frac{x+1}{x^{2}+x+1}=\frac{2}{3}}$
Επίσης για $\displaystyle{0<x<1$ είναι $\displaystyle{1>\frac{x+1}{x^{2}+x+1}>\frac{2}{3} }$ άρα για u=f(x)

έχουμε $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow1^{-}} f(f(x))=\lim_{u\rightarrow \frac{2}{3}^{+}}f(u)=\frac{15}{19}}$ .
Συνεπώς τόσο η

όσο και η

είναι ασυνεχείς στο 1.

Ένα εύκολο ερώτημα πλέον είναι το εξής:
Να δειχθεί ότι η fofofo...of

είναι ασυνεχής στο 1.

mathematica.gr

Πλευρικό όριο

Πλευρικό όριο

Re: Πλευρικό όριο

Re: Πλευρικό όριο