ΙΜΟ 2011

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

G.Tsikaloudakis
Δημοσιεύσεις: 410
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 20, 2010 8:42 pm
Τοποθεσία: ΚΑΛΛΙΘΕΑ -ΑΘΗΝΑ
Επικοινωνία:

ΙΜΟ 2011

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από G.Tsikaloudakis » Δευ Ιούλ 18, 2011 7:02 pm

Με αφορμή το 3ο ΘΕΜΑ ΙΜΟ 2011¨

Να βρεθούν οι συνεχείς συναρτήσεις f, στο R, για τις οποίες ισχύει:

f\left( {x + y} \right) = yf(x) + f\left( {f(x)} \right) , x \in R


Γιώργος Τσικαλουδάκης
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5799
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: ΙΜΟ 2011

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Δευ Ιούλ 18, 2011 7:25 pm

Δε χρειάζεται η συνέχεια...

Για y=0 είναι f(x)=f(f(x)) ενώ για y=-1, f(x-1)=0, οπότε f\equiv 0.


Θανάσης Κοντογεώργης
Pla.pa.s
Δημοσιεύσεις: 157
Εγγραφή: Σάβ Ιούλ 02, 2011 11:56 pm

Re: ΙΜΟ 2011

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Pla.pa.s » Δευ Ιούλ 18, 2011 7:36 pm

Βέβαια υπάρχει και άλλος "τρόπος" να δειχθεί το παραπάνω.
Για όσες συνεχείς συναρτήσεις ισχύει f(x+y)=yf(x)+f(f(x)), τότε θα ισχύει και σίγουρα f(x+y)\leq yf(x)+f(f(x)). Σύμφωνα με το θέμα όμως, η μόνη συνάρτηση που ικανοποιεί αυτήν τη συνθήκη είναι η f(x)=0. Συνεπώς αν υπάρχει συνεχής συνάρτηση f τέτοια ώστε f(x+y)=yf(x)+f(f(x)), τότε αναγκαστικά θα είναι η f(x)=0, η οποία εύκολα διαπιστώνουμε ότι πράγματι συμβαδίζει με τις υποθέσεις.


1+1+...+1=2
Dots are mysterious!
G.Tsikaloudakis
Δημοσιεύσεις: 410
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 20, 2010 8:42 pm
Τοποθεσία: ΚΑΛΛΙΘΕΑ -ΑΘΗΝΑ
Επικοινωνία:

Re: ΙΜΟ 2011

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από G.Tsikaloudakis » Δευ Ιούλ 18, 2011 7:48 pm

Αν όπου y θέσουμε f(x)-x , προκύπτει:

f(x)\left( {f(x) - x} \right) = 0 (1)

Από την (1) εύκολα προκύπτει : f(x) = 0{\rm{ }}{\rm{, x}} \in {\rm{R}}


Γιώργος Τσικαλουδάκης
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5799
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: ΙΜΟ 2011

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Παρ Ιαν 30, 2015 3:22 pm

Ενδιαφέρον και το επόμενο:

Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις f:\Bbb{R}^+\to \Bbb{R}^+ τέτοιες, ώστε για κάθε x,y\in \Bbb{R}^+ να ισχύει

f\left( {x + y} \right) = yf(x) + f\left( {f(x)} \right).


Θανάσης Κοντογεώργης
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11538
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: ΙΜΟ 2011

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Ιαν 30, 2015 4:02 pm

socrates έγραψε:Ενδιαφέρον και το επόμενο:

Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις f:\Bbb{R}^+\to \Bbb{R}^+ τέτοιες, ώστε για κάθε x,y\in \Bbb{R}^+ να ισχύει

f\left( {x + y} \right) = yf(x) + f\left( {f(x)} \right).
Θα κάνω χρήση του εξής: Αν yA(x)+B(x) = yC(x)+D(x), \forall y >0, x>0 τότε A(x)=C(x), \, B(x)=D(x) , \forall x>0. H απόδειξη είναι απλή καθώς αν π.χ. ίσχυε A(x) > C(x) για κάποιο συγκεκριμένο x τότε η σχέση y( A(x)-C(x)) = D(x)-B(x) οδηγεί σε άτοπο παίρνοντας όριο του y στο άπειρο. Από αυτό έπεται και η ισότητα B(x)=D(x).

Τώρα, η αρχική για κάθε σταθερό c>0 δίνει

f\left( {x + y+c} \right) = (y+c)f(x) + f\left( {f(x)} \right) αλλά επίσης δίνει

f\left( {x + y+c} \right) = yf(x+c) + f\left( {f(x+c)} \right)

Από το προηγούμενο έπεται f(x)=f(x+c) . Από αυτό είναι απλό να δείξουμε ότι η f είναι σταθερή και, πίσω στην αρχική, ότι είναι σταθερά 0.

Ελπίζω να μην κάνω λάθος γιατί είμαι ξενύχτης (προετοιμασία για τον Καγκουρό, γαρ) και πάω για ύπνο τώρα!


socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5799
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: ΙΜΟ 2011

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Σάβ Ιαν 31, 2015 12:46 am

Mihalis_Lambrou έγραψε:
socrates έγραψε:Ενδιαφέρον και το επόμενο:

Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις f:\Bbb{R}^+\to \Bbb{R}^+ τέτοιες, ώστε για κάθε x,y\in \Bbb{R}^+ να ισχύει

f\left( {x + y} \right) = yf(x) + f\left( {f(x)} \right).
Θα κάνω χρήση του εξής: Αν yA(x)+B(x) = yC(x)+D(x), \forall y >0, x>0 τότε A(x)=C(x), \, B(x)=D(x) , \forall x>0. H απόδειξη είναι απλή καθώς αν π.χ. ίσχυε A(x) > C(x) για κάποιο συγκεκριμένο x τότε η σχέση y( A(x)-C(x)) = D(x)-B(x) οδηγεί σε άτοπο παίρνοντας όριο του y στο άπειρο. Από αυτό έπεται και η ισότητα B(x)=D(x).

Τώρα, η αρχική για κάθε σταθερό c>0 δίνει

f\left( {x + y+c} \right) = (y+c)f(x) + f\left( {f(x)} \right) αλλά επίσης δίνει

f\left( {x + y+c} \right) = yf(x+c) + f\left( {f(x+c)} \right)

Από το προηγούμενο έπεται f(x)=f(x+c) . Από αυτό είναι απλό να δείξουμε ότι η f είναι σταθερή και, πίσω στην αρχική, ότι είναι σταθερά 0.

Ελπίζω να μην κάνω λάθος γιατί είμαι ξενύχτης (προετοιμασία για τον Καγκουρό, γαρ) και πάω για ύπνο τώρα!

:coolspeak: :clap2:


Θανάσης Κοντογεώργης
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες