Ύπαρξη συνάρτησης

Μπουμπουλής Κώστας · #1

Υπάρχει συνάρτηση f : $R\rightarrow R$ για την οποία ισχύει f^3(x)+f^2(x)= x+2

για κάθε $x\in R$ ;

Pla.pa.s · #2

Μία προσπάθεια.
Έστω αρχικά η συνάρτηση $g(u)=u^{3}+u^{2}$ . Από τη μονοτονία της

βλέπουμε ότι είναι γνησίως αύξουσα στο $(-\infty,-\frac{2}{3}]$ και στο $[0,+\infty)$ ενώ είναι γνησίως φθίνουσα στο $[-\frac{2}{3},0]$ με $g(-\frac{2}{3})=\frac{4}{27}$ . Συνεπώς η $g(u)=\lambda$ εχει
μία ρίζα για $\lambda \in (-\infty,0)$ ή για $\lambda \in (\frac{4}{27},+\infty)$ (για $u \in (-\infty,-1)$ ή $u \in (k,+\infty)$ αντίστοιχα-το

είναι η θετική ρίζα της $f(u)=\frac{4}{27}$ )
από τρεις για $\lambda \in (0,\frac{4}{27})$ (για $u \in (-1,k)-\left\{-1,-\frac{2}{3},0,k\right\}$ )
και από δύο για $\lambda \in \left\{ 0,\frac{4}{27} \right\}$ (για $u \in \left\{-1,-\frac{2}{3},0,k \right\}$ ).
Αυτό που έχει σημασία είναι ότι η g(u)

όταν ορίζεται στο $(-\infty,1)\bigcup[0,+\infty)$ είναι "1-1"

και έχει σύνολο τιμών το $\mathbb R$ .
Συνεπώς μπορούμε να πούμε ότι η $h(x)=x^{3}+x^{2}-2$ ορισμένη για $x \in (-\infty,1)\bigcup[0,+\infty)$ είναι "1-1"

και έχει σύνολο τιμών το $\mathbb R$ .
Άρα ορίζεται η αντίστροφη της η $h^{-1}$ η οποία έχει πεδίο ορισμού το $\mathbb R$ και για κάθε $x\in \mathbb R$ ισχυει $(h^{-1}(x))^{3}+(h^{-1}(x))^{2}=x+2$ .
$f=h^{-1}$

Edit: Διόρθωσα στο τέλος που είχα βάλει

αντί για

. Επίσης από ό,τι φάνηκε $k=\frac{1}{3}$ αλλά το αφήνω έτσι, μιας που έτσι το έδωσα αρχικά.

tdsotm111 · #3

πληροφοριακά πάντως, η f(x)

υπάρχει (αντιστρέφοντας την αντίστροφη), σύμφωνα με το mathematica.

Μπουμπουλής Κώστας · #4

Πραγματικά υπάρχει η f όπως φαίνεται στη γραφική παράσταση, αλλά προφανώς δεν είναι συνάρτηση. Ο φίλος Pla.pa.s έδωσε κατάλληλο πεδίο ορισμού στην "αντίστροφη" της f ώστε να γίνει "1-1" και έτσι η f έγινε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το R. Διορθώνοντας κάποια "λαθάκια" του Pla.pa.s συνοψίζω:
Μιά συνάρτηση είναι η αντίστροφη της h (και όχι της g) με πεδίο ορισμού το $\left(-\propto , -1 \right)\bigcup{} [0, +\propto )$ .
Υπάρχει κι άλλη: η αντίστροφη της h με πεδίο ορισμού το $\left(-\propto , -\frac{2}{3} \right)\bigcup{} [\frac{1}{3}, +\propto )$ .
Φιλικά Κώστας.

Ύπαρξη συνάρτησης

Ύπαρξη συνάρτησης

Re: Ύπαρξη συνάρτησης

Re: Ύπαρξη συνάρτησης

Re: Ύπαρξη συνάρτησης

Μέλη σε σύνδεση