Ύπαρξη συνάρτησης

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Μπουμπουλής Κώστας
Δημοσιεύσεις: 56
Εγγραφή: Τρί Απρ 26, 2011 1:58 am

Ύπαρξη συνάρτησης

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπουμπουλής Κώστας » Τρί Ιούλ 26, 2011 12:33 am

Υπάρχει συνάρτηση f : R\rightarrow R για την οποία ισχύει f^3(x)+f^2(x)= x+2 για κάθε x\in R;


Pla.pa.s
Δημοσιεύσεις: 157
Εγγραφή: Σάβ Ιούλ 02, 2011 11:56 pm

Re: Ύπαρξη συνάρτησης

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Pla.pa.s » Τρί Ιούλ 26, 2011 10:50 pm

Μία προσπάθεια.
Έστω αρχικά η συνάρτηση g(u)=u^{3}+u^{2}. Από τη μονοτονία της g βλέπουμε ότι είναι γνησίως αύξουσα στο (-\infty,-\frac{2}{3}] και στο [0,+\infty) ενώ είναι γνησίως φθίνουσα στο [-\frac{2}{3},0] με g(-\frac{2}{3})=\frac{4}{27}. Συνεπώς η g(u)=\lambda εχει
μία ρίζα για \lambda \in (-\infty,0) ή για \lambda \in (\frac{4}{27},+\infty) (για u \in (-\infty,-1) ή u \in (k,+\infty) αντίστοιχα-το k είναι η θετική ρίζα της f(u)=\frac{4}{27})
από τρεις για \lambda \in (0,\frac{4}{27}) (για u \in (-1,k)-\left\{-1,-\frac{2}{3},0,k\right\})
και από δύο για \lambda \in \left\{ 0,\frac{4}{27} \right\} (για u \in \left\{-1,-\frac{2}{3},0,k \right\}).
Αυτό που έχει σημασία είναι ότι η g(u) όταν ορίζεται στο (-\infty,1)\bigcup[0,+\infty) είναι "1-1" και έχει σύνολο τιμών το \mathbb R.
Συνεπώς μπορούμε να πούμε ότι η h(x)=x^{3}+x^{2}-2 ορισμένη για x \in (-\infty,1)\bigcup[0,+\infty) είναι "1-1" και έχει σύνολο τιμών το \mathbb R.
Άρα ορίζεται η αντίστροφη της η h^{-1} η οποία έχει πεδίο ορισμού το \mathbb R και για κάθε x\in \mathbb R ισχυει (h^{-1}(x))^{3}+(h^{-1}(x))^{2}=x+2.
f=h^{-1}


Edit: Διόρθωσα στο τέλος που είχα βάλει g αντί για h. Επίσης από ό,τι φάνηκε k=\frac{1}{3} αλλά το αφήνω έτσι, μιας που έτσι το έδωσα αρχικά.
τελευταία επεξεργασία από Pla.pa.s σε Τετ Ιούλ 27, 2011 1:37 am, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


1+1+...+1=2
Dots are mysterious!
tdsotm111
Δημοσιεύσεις: 123
Εγγραφή: Τετ Ιαν 13, 2010 12:54 am

Re: Ύπαρξη συνάρτησης

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από tdsotm111 » Τετ Ιούλ 27, 2011 12:06 am

πληροφοριακά πάντως, η f(x) υπάρχει (αντιστρέφοντας την αντίστροφη), σύμφωνα με το mathematica.
Συνημμένα
Screenshot.Png
Screenshot.Png (115.58 KiB) Προβλήθηκε 565 φορές


Μπουμπουλής Κώστας
Δημοσιεύσεις: 56
Εγγραφή: Τρί Απρ 26, 2011 1:58 am

Re: Ύπαρξη συνάρτησης

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπουμπουλής Κώστας » Τετ Ιούλ 27, 2011 1:26 am

Πραγματικά υπάρχει η f όπως φαίνεται στη γραφική παράσταση, αλλά προφανώς δεν είναι συνάρτηση. Ο φίλος Pla.pa.s έδωσε κατάλληλο πεδίο ορισμού στην "αντίστροφη" της f ώστε να γίνει "1-1" και έτσι η f έγινε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το R. Διορθώνοντας κάποια "λαθάκια" του Pla.pa.s συνοψίζω:
Μιά συνάρτηση είναι η αντίστροφη της h (και όχι της g) με πεδίο ορισμού το \left(-\propto , -1  \right)\bigcup{} [0, +\propto ).
Υπάρχει κι άλλη: η αντίστροφη της h με πεδίο ορισμού το \left(-\propto , -\frac{2}{3}  \right)\bigcup{} [\frac{1}{3}, +\propto ).
Φιλικά Κώστας.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης