Βρείτε τις f,g!

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5799
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Βρείτε τις f,g!

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Τετ Αύγ 03, 2011 6:37 pm

Να προσδιορίσετε τις συναρτήσεις f,g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} τέτοιες ώστε

2 f(x)-g(x)=f(y)-y, για κάθε x,y \in \mathbb{R} και

f(x) g(x)\geq x+1 , για κάθε x \in \mathbb{R}.


Θανάσης Κοντογεώργης
hsiodos
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1235
Εγγραφή: Σάβ Απρ 18, 2009 1:12 am

Re: Βρείτε τις f,g!

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από hsiodos » Τετ Αύγ 03, 2011 8:20 pm

\displaystyle{ 
2f(x) - g(x) = f(y) - y\,\,\,(1)\,} για κάθε \displaystyle{x,y \in R}

Θέτουμε \displaystyle{y = x\,} οπότε: \displaystyle{ 
(1) \Rightarrow f(x) - g(x) =  - x\,\,(2)\,} για κάθε \displaystyle{x \in R}

\displaystyle{ 
(1)\mathop  \Rightarrow \limits^{(2)} \,\,f(x) - x = f(y) - y\,\,\,(3)\,} για κάθε \displaystyle{x,y \in R}

Θέτουμε \displaystyle{y = 0\,} οπότε: \displaystyle{(3) \Rightarrow f(x) - x = f(0)} για κάθε \displaystyle{x \in R} \displaystyle{ \Rightarrow f(x) = x + c\,\,(4)}για κάθε \displaystyle{x \in R} , \displaystyle{ 
c} πραγματικός σταθερός.

\displaystyle{ 
(2)\mathop  \Rightarrow \limits^{(4)} \,\,g(x) = 2x + c\,\,(5)} για κάθε \displaystyle{x \in R}

Για κάθε \displaystyle{x \in R} απαιτούμε:

\displaystyle{ 
f(x)g(x) \ge x + 1\mathop  \Leftrightarrow \limits^{(4) \wedge (5)} \,\,2x^2  + 3cx + c^2  \ge x + 1 \Leftrightarrow 2x^2  + (3c - 1)x + c^2  - 1 \ge 0\,\,}

Αυτό συμβαίνει αν και μόνο αν: \displaystyle{ 
\Delta  \le 0 \Leftrightarrow (3c - 1)^2  - 8(c^2  - 1) \le 0 \Leftrightarrow c^2  - 6c + 9 \le 0 \Leftrightarrow (c - 3)^2  \le 0 \Leftrightarrow (c - 3)^2  = 0 \Leftrightarrow c = 3}

Έτσι για κάθε \displaystyle{x \in R} βρίσκουμε \displaystyle{ 
f(x) = x + 3\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,g(x) = 2x + 3} που επαληθεύουν και την (1) .

σχόλιο: Από την (3) προκύπτει ότι η \displaystyle{f} είναι παραγωγίσιμη με \displaystyle{f{'} (x) = 1}

Γιώργος


Γιώργος Ροδόπουλος
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11537
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Βρείτε τις f,g!

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Αύγ 03, 2011 8:20 pm

socrates έγραψε:Να προσδιορίσετε τις συναρτήσεις f,g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} τέτοιες ώστε

2 f(x)-g(x)=f(y)-y, για κάθε x,y \in \mathbb{R} και

f(x) g(x)\geq x+1 , για κάθε x \in \mathbb{R}.
Μεταβάλοντας το y στην πρώτη σχέση βλέπουμε ότι το αριστερό μέλος (και άρα το δεξί) μένει σταθερό. Άρα f(y)=y+c. Τώρα η πρώτη δίνει 2(x+c) - g(x)=c άρα g(x)=2x+c. Οι δύο αυτές στην δεύτερη δίνουν 2x^2+(3c-1)x+c^2-1 \ge 0 για κάθε x. Άρα η διακρίνουσα c^2-6c+9\le0 ή (c-3)^2 \le 0. Οπότε τελικά c=3 και

f(x)=x+3, \, g(x) = 2x+3, που επαληθεύουν τις αρχικές.


Edit. Διόρθωσα λογιστικό σφάλμα.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης