Με απόλυτο και ενελικτικές

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5799
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Με απόλυτο και ενελικτικές

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Τετ Αύγ 31, 2011 8:10 pm

Θεωρούμε τις συναρτήσεις f(x) = ax+b|x| και g(x) = ax-b|x|.

Δείξτε ότι, αν f(f(x))=x, για κάθε x \in \mathbb{R} τότε g(g(x))=x, για κάθε x \in \mathbb{R}.
Ισχύει το αντίστροφο;

Βρείτε, ακόμη, τα ζεύγη (a,b) για τα οποία f(f(x))=x, για κάθε x \in \mathbb{R}.


Θανάσης Κοντογεώργης
Άβαταρ μέλους
pito
Δημοσιεύσεις: 1754
Εγγραφή: Τρί Μάιος 18, 2010 10:41 pm
Τοποθεσία: mathematica

Re: Με απόλυτο και ενελικτικές

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από pito » Δευ Δεκ 05, 2011 1:06 am

Επαναφορά!


1. Δεν διδάσκουμε με αυτό που λέμε και κάνουμε. Διδάσκουμε με αυτό που είμαστε.
2. Ο μέτριος δάσκαλος περιγράφει. Ο καλός δάσκαλος εξηγεί. Ο σωστός δάσκαλος αποδεικνύει. Ο σπουδαίος δάσκαλος εμπνέει. ( Γουίλιαμ Γουάρντ)
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11536
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Με απόλυτο και ενελικτικές

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Δεκ 05, 2011 4:30 pm

socrates έγραψε:Θεωρούμε τις συναρτήσεις f(x) = ax+b|x| και g(x) = ax-b|x|.

Δείξτε ότι, αν f(f(x))=x, για κάθε x \in \mathbb{R} τότε g(g(x))=x, για κάθε x \in \mathbb{R}.
Ισχύει το αντίστροφο;

Βρείτε, ακόμη, τα ζεύγη (a,b) για τα οποία f(f(x))=x, για κάθε x \in \mathbb{R}.
α) H υπόθεδη είναι a\left( a x + b|x|\right) + b \left| ax+b|x|\right | = x , \,\,\, \forall x και το αποδεικτέο a\left( a x - b|x|\right) - b \left| ax-b|x|\right | = x , \forall x. Αν βάλουμε όπου x το -x στην πρώτη και πολλαπλασιάσουμε επί -1, δίνει αμέσως την δεύτερη.

β) Θα δούμε ότι τα ζητούμενα a,b είναι όλα με a^2=b^2+1, \, (*)

Δυστυχώς, λόγω φόρτου, δεν βρήκα κομψή λύση, οπότε αρκούμαι σε μακροσκελή περιπτωσιολογία.

Η υπόθεση για x=1 και x=-1 δίνει, αντίστοιχα
a^2+ab + b|a+b|=1, \,\, -a^2+ab+b|a-b|=-1 (**) .
Προσθέτοντας κατά μέλη είναι b(2a+|a+b|+|a-b|)=0
άρα είτε b=0 είτε 2a+|a+b|+|a-b|=0.

b=0 η αρχική δίνει a^2x=x οπότε a=\pm 1. Δεκτά γιατί
ικανοποιούνται οι συνθήκες. H περίπτωση αυτή, βέβαια, εμπίπτει στις (*)

Μένει να εξετάσουμε την περίπτωση 2a+|a+b|+|a-b|=0.

Έχουμε 0=2a+|a+b|+|a-b| = \left (a+b+|a+b|\right) + \left (a-b+|a-b|\right)\ge 0.

H παράσταση δεξιά είναι άθροισμα θετικών, οπότε θα είναι a+b+|a+b| =a-b+|a-b| =0, με άλλα λόγια
|a+b| = -(a+b), |a-b| =b-a. Βάζοντας αυτά στην (**) δίνει a^2-b^2 =1, όπως θέλαμε.

Αντίστροφα, η a^2-b^2 =1 ότι τα a+b, \, a-b είναι και τα δύο θετικά ή και τα δύο αρνητικά.
Η πρώτη περίπτωση στην (*) δίνει a\pm b=1, που ικανοποιούν την αρχική (απλό χωρίζοντας περιπτώσεις x\ge 0, x<0).
Όμοια η δεύτερη περίπτωση (πάλι χωρίζοντας περιπτώσεις x\ge 0, x<0).

Φιλικά,

Μιχάλης


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης