Εξίσωση με αντίστροφη συνάρτηση

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
Καρδαμίτσης Σπύρος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2326
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 11:14 pm
Επικοινωνία:

Εξίσωση με αντίστροφη συνάρτηση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Καρδαμίτσης Σπύρος » Κυρ Σεπ 04, 2011 12:59 pm

Kαλή χρονιά σε όλους σας


Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle{f(x) = x - 3 + \ln x}

α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση \displaystyle{f} αντιστρέφεται.
β) Να λύσετε την εξίσωση \displaystyle{f(x) + f^{ - 1} (x) = f^{ - 1} (f^{ - 1} ( - 2)) - 2}

Θεωρούμε ότι το πεδίο ορισμού της αντίστροφης συνάρτησης είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών.


Καρδαμίτσης Σπύρος
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11547
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Εξίσωση με αντίστροφη συνάρτηση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Σεπ 04, 2011 2:27 pm

Καρδαμίτσης Σπύρος έγραψε: Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle{f(x) = x - 3 + \ln x}

α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση \displaystyle{f} αντιστρέφεται.
β) Να λύσετε την εξίσωση \displaystyle{f(x) + f^{ - 1} (x) = f^{ - 1} (f^{ - 1} ( - 2)) - 2}

Θεωρούμε ότι το πεδίο ορισμού της αντίστροφης συνάρτησης είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών.
α) Η f ως άθροισμα δύο γνήσια αυξουσών είναι γνήσια αύξουσα, άρα αντιστρέφεται. Υπόψη (για το παρακάτω) ότι και η f^{-1} είναι γνήσια αύξουσα.

β) Από την f(1)= 1 =3 +\ln 1 = -2 έχουμε f^{-1}(-2)=1, οπότε η εξίσωση γίνεται

\displaystyle{f(x) + f^{ - 1} (x) = f^{ - 1} (1) - 2}.

Η x=1 είναι προφανής λύση. Είναι και μοναδική γιατί το αριστερό μέλος είναι γνήσια αύξουσα συνάρτηση (άθροισμα δύο τέτοιων).

Φιλικά,

Μιχάλης


Άβαταρ μέλους
vasilis.volos.13
Δημοσιεύσεις: 196
Εγγραφή: Κυρ Νοέμ 07, 2010 7:41 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Εξίσωση με αντίστροφη συνάρτηση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από vasilis.volos.13 » Κυρ Σεπ 04, 2011 3:51 pm

Μήπως είναι σε λάθος φάκελο ??


Βασίλης Ευαγγέλου
Άβαταρ μέλους
Καρδαμίτσης Σπύρος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2326
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 11:14 pm
Επικοινωνία:

Re: Εξίσωση με αντίστροφη συνάρτηση

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Καρδαμίτσης Σπύρος » Κυρ Σεπ 04, 2011 7:10 pm

Ευχαριστώ τον Μιχάλη για την λύση. Ναι είναι όντος σε λάθος φάκελο (λόγω παραδρομής) οι διαχειριστές ας την μεταφέρουν.


Καρδαμίτσης Σπύρος
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες