Συνέχεια

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Christiano
Δημοσιεύσεις: 22
Εγγραφή: Σάβ Σεπ 03, 2011 12:48 pm

Συνέχεια

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christiano » Τρί Σεπ 06, 2011 11:48 pm

Δίνεται η συνάρτηση f για την οποία ισχύει: f^{3}(x)+2f(x)-x=2006 για κάθε x \in \mathbb{R}. Να δείξετε ότι η f είναι συνεχής στο \mathbb{R}


Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6175
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Συνέχεια

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Τετ Σεπ 07, 2011 12:03 am

Christiano έγραψε:Δίνεται η συνάρτηση f για την οποία ισχύει: f^{3}(x)+2f(x)-x=2006 για κάθε x \in \mathbb{R}. Να δείξετε ότι η f είναι συνεχής στο \mathbb{R}
Έστω \displaystyle{a} τυχόν πραγματικός αριθμός. Θα αποδείξουμε, ότι η \displaystyle{f} είναι συνεχής στο \displaystyle{a.}

Είναι \displaystyle{f^{3}(x)+2f(x)-x=2006} και \displaystyle{f^{3}(a)+2f(a)-a=2006.}

Από αυτές έχουμε ότι

\displaystyle{f^3(x)-f^3(a)+2(f(x)-f(a))=x-a} για όλα τα \displaystyle{x.}

Άρα \displaystyle{(f(x)-f(a))(f^2(x)+f(x)f(a)+f^2(a)+2)=x-a,} σχέση η οποία γράφεται ως

\displaystyle{f(x)-f(a)=\frac{x-a}{f^2(x)+f(x)f(a)+f^2(a)+2}} (η παράσταση \displaystyle{f^2(x)+f(x)f(a)+f^2(a)+2} είναι φανερά θετική).

Επομένως είναι

\displaystyle{|f(x)-f(a)|=\Big|\frac{x-a}{f^2(x)+f(x)f(a)+f^2(a)+2}\Big|.}

Από αυτήν είναι φανερό ότι \displaystyle{\lim_{x\to a}|f(x)-f(a)|=\lim_{x\to a}\Big|\frac{x-a}{f^2(x)+f(x)f(a)+f^2(a)+2}\Big|=0}, (\displaystyle{\color{red}\dagger})

οπότε προκύπτει το ζητούμενο.

EDIT* Ας συμπληρώσω, προς αποφυγή παρεξηγήσεων, ότι η ισότητα (\displaystyle{\color{red}\dagger}) ισχύει γιατί προφανώς \displaystyle{\Big|\frac{x-a}{f^2(x)+f(x)f(a)+f^2(a)+2}\Big|\leq \frac{|x-a|}{2}}.

Ευχαριστώ τον Βασίλη (mathxl) για την επισήμανση.


Μάγκος Θάνος
Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: Συνέχεια

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Τετ Σεπ 07, 2011 12:35 am

Ας δώσω κάποια επιπλέον ερωτήματα

ιι. Να δείξετε ότι η \displaystyle{f} είναι παραγωγίσιμη
ιιι. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα
\displaystyle{I = \int\limits_{ - 2009}^{ - 2018} {\frac{2}{{3{f^2}\left( x \right) + 1}}dx} }
ιv. Να δείξετε ότι η συνάρτηση \displaystyle{g\left( x \right) = {x^3} + 2x - 2006,x \in R}
αντιστρέφεται και να βρείτε το σύνολο τιμών της
v. Να προσδιορίσετε την συνάρτηση f


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11549
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Συνέχεια

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Σεπ 07, 2011 1:09 am

Christiano έγραψε:Δίνεται η συνάρτηση f για την οποία ισχύει: f^{3}(x)+2f(x)-x=2006 για κάθε x \in \mathbb{R}. Να δείξετε ότι η f είναι συνεχής στο \mathbb{R}
Αλλιώς αλλά... βλέπε το σχόλιο παρακάτω:

Η f είναι 1-1 γιατί αν f(a)=f(b) τότε από την υπόθεση a= f^{3}(a)+2f(a)-2006  = f^{3}(b)+2f(b)-2006 = b. Άρα η f είναι αντιστέψιμη. Είναι προφανές ότι η αντίστροφη της y=f(x) είναι η f^{-1}(x)=x^3+2x-2006 (δεν έχουμε παρά να ελέγξουμε ότι για αυτήν την f^{-1} ισχύει f^{-1}(f(x))=x που είναι άμεσο).
Τώρα, η f^{-1} είναι συνεχής ως πολυώνυμο. Άρα και η αντίστροφή της, δηλαδή η f, είναι επίσης συνεχής (*). Τελειώσαμε!

Σχόλιο: Η αλήθεια είναι ότι η (*) δεν έχει αποδειχθεί αυστηρά στο Σχολικό βιβλίο. Αν όμως θεωρήσουμε ότι το γράφημα της f^{-1} είναι το συμμετρικό του γραφήματος της f ως προς την y=x, μπορούμε να πεισθούμε, τουλάχιστον διαισθητικά, για την αλήθεια της (*). Εννοείται, υπάρχει αυστηρή απόδειξη...

Μ.


Christiano
Δημοσιεύσεις: 22
Εγγραφή: Σάβ Σεπ 03, 2011 12:48 pm

Re: Συνέχεια

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christiano » Τετ Σεπ 07, 2011 2:30 am

Ακόμη ένα ερώτημα: Να υπολογιστεί το lim_{x \rightarrow 2006}f(x).


KAKABASBASILEIOS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1508
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: Συνέχεια

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Τετ Σεπ 07, 2011 2:59 am

Καλησπέρα....πάλι στα ξενύχτια...συνεχίζοντας τα ερωτήματα του συνονοματου....

ΙΙ) Από την σχέση που δημιούργησε ο Θάνος f(x)-f(a)=\frac{x-a}{{{f}^{2}}(x)-f(x)f(a)+{{f}^{2}}(a)+2} με x\ne a ισχύει \frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\frac{1}{{{f}^{2}}(x)-f(x)f(a)+{{f}^{2}}(a)+2} και αφού λόγω συνέχειας \underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,f(x)=f(a) είναι

\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{{{f}^{2}}(x)+f(x)f(a)+{{f}^{2}}(a)+2}=\frac{1}{{{f}^{2}}(a)+f(a)f(a)+{{f}^{2}}(a)+2}=


=\frac{1}{3{{f}^{2}}(a)+2} άρα f παραγωγίσιμη με {f}'(x)=\frac{1}{3{{f}^{2}}(x)+2}


iii) Από την αρχική σχέση τώρα παραγωγίζοντας προκύπτει ότι 3{{f}^{2}}(x){f}'(x)+2{f}'(x)=1\Leftrightarrow (3{{f}^{2}}(x)+2){f}'(x)=1\Leftrightarrow {f}'(x)=\frac{1}{3{{f}^{2}}(x)+2} επομένως το ολοκλήρωμα

I=\int\limits_{-2009}^{-2018}{\frac{2}{3{{f}^{2}}(x)+2}dx=}\int\limits_{-2009}^{-2018}{2{f}'(x)dx=}2[f(x)]_{-2009}^{-2018}=2(f(-2018)-f(-2009))

και επειδή {{f}^{-1}}(x)={{x}^{3}}+2x-2006(…Μιχάλης έδειξε…) και {{f}^{-1}}(-1)=-2009,\,{{f}^{-1}}(-2)=-2018\, θα είναι -1=f(-2009)\,\,\,,\,-2=f(-2018)\, άρα I=-2

iv) Είναι g(x)={{x}^{3}}+2x-2006 παραγωγίσιμη με {g}'(x)=3{{x}^{2}}+2>0 οπότε γνήσια αύξουσα άρα 1-1 επομένως αντιστρέφεται και επειδή είναι συνεχής ισχύει

g(R)=(\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,g(x),\,\,\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,g(x))=(-\infty ,\,+\infty )=R


v) Από την αρχική ισότητα ισχύει g(f(x))=x,\,\,x\in R οπότε αφού η {{g}^{-1}} έχει πεδίο ορισμού το R (σύνολο τιμών της g) θα ισχύει f(x)={{g}^{-1}}(x),\,\,x\in R

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης