Συνεχής no.2

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Christiano
Δημοσιεύσεις: 22
Εγγραφή: Σάβ Σεπ 03, 2011 12:48 pm

Συνεχής no.2

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christiano » Τετ Σεπ 07, 2011 2:54 am

H συνάρτηση f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} είναι συνεχής στο x=1, η οποία ικανοποιεί τη σχέση f(f(x))=4x-3 για κάθε x \in \mathbb{R}. Nα δειχθεί ότι lim_{x \rightarrow 1}\frac{f(x)}{x^{2}-2x+1}=+\infty


KAKABASBASILEIOS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1508
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: Συνεχής no.2

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Τετ Σεπ 07, 2011 3:12 am

....αφού καθήσαμε μέχρι τώρα....συνεχίζουμε....

Είναι f(f(x))=4x-3 οπότε ισχύει f(f(1))=1άρα και f(f(f(1)))=f(1)και λόγω της αρχικής ισότητας 4f(1)-3=f(1)\Leftrightarrow f(1)=1>0
Οπότε το όριο \underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{{{(x-1)}^{2}}}=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim [}}\,\frac{1}{{{(x-1)}^{2}}}f(x))]=L και επειδή \underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{{{(x-1)}^{2}}}=+\infty \,\,και \underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,f(x)=f(1)=1>0 είναι L=+\infty

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6175
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Συνεχής no.2

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Τετ Σεπ 07, 2011 3:15 am

Στη σχέση \displaystyle{f(f(x))=4x-3} θέτουμε διαδοχικά \displaystyle{x=1} και \displaystyle{x=f(1),} οπότε προκύπτει \displaystyle{f(f(1))=1} και \displaystyle{f(f(f(1)))=4f(1)-3} αντίστοιχα. Είναι επομένως \displaystyle{f(1)=1.}

Είναι τώρα

\displaystyle{\lim_{x\to 1}\frac{f(x)}{x^2-2x+1}=\lim_{x\to 1}f(x)\frac{1}{(x-1)^2}=+\infty ,} αφού

\displaystyle{\lim_{x\to 1}\frac{1}{(x-1)^2}=+\infty} και, λόγω συνέχειας, \displaystyle{\lim_{x\to 1}f(x)=f(1)=1>0.}


Μάγκος Θάνος
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης