Οριο

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Christiano
Δημοσιεύσεις: 22
Εγγραφή: Σάβ Σεπ 03, 2011 12:48 pm

Οριο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christiano » Πέμ Σεπ 08, 2011 1:53 pm

Δίνεται η συνάρτηση f(x)=sin^{2}(x)sin(\frac{\pi}{x}) για x \neq 0. Να υπολογιστεί το όριο lim_{x\rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}


Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6175
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Οριο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Πέμ Σεπ 08, 2011 2:06 pm

Christiano έγραψε:Δίνεται η συνάρτηση f(x)=sin^{2}(x)sin(\frac{\pi}{x}) για x \neq 0. Να υπολογιστεί το όριο lim_{x\rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}
Είναι

\displaystyle{\frac{f(x)}{x}=\frac{\sin x}{x}\sin x\sin \frac{\pi}{x}} και

\displaystyle{\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1}, ενώ είναι \displaystyle{\lim_{x\to 0}\sin x\sin \frac{\pi}{x}=0} (μηδενική \displaystyle{\times} φραγμένη).

Άρα το ζητούμενο όριο ισούται με το 0.


Μάγκος Θάνος
Άβαταρ μέλους
Χρήστος Λαζαρίδης
Δημοσιεύσεις: 656
Εγγραφή: Παρ Ιαν 09, 2009 10:48 am
Τοποθεσία: Παλαιό Φάληρο
Επικοινωνία:

Re: Οριο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Χρήστος Λαζαρίδης » Σάβ Σεπ 10, 2011 11:35 am

Christiano έγραψε:Δίνεται η συνάρτηση f(x)=sin^{2}(x)sin(\frac{\pi}{x}) για x \neq 0. Να υπολογιστεί το όριο lim_{x\rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}
Ένας διαφορετικός τρόπος:

Για κάθε \displaystyle{x \in ( - \infty ,0) \cup (0, + \infty )}
\displaystyle{ - 1 \le \eta \mu \frac{\pi }{x} \le 1 \Rightarrow  - \eta \mu ^2 x \le \eta \mu ^2 x\eta \mu \frac{\pi }{x} \le \eta \mu ^2 x}
Για κάθε \displaystyle{x > 0}:\displaystyle{ \Rightarrow  - \frac{{\eta \mu ^2 x}}{x} \le \frac{{f(x)}}{x} \le \frac{{\eta \mu ^2 x}}{x}}
\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0^ +  } \left( { - \frac{{\eta \mu x}}{x}\eta \mu x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0^ +  } \left( {\frac{{\eta \mu x}}{x}\eta \mu x} \right)=0 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0^ +  } \frac{{f(x)}}{x} = 0}

Ομοίως \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0^ =  } \frac{{f(x)}}{x} = 0}

Ευχαριστώ το Μιχάλη για την επισήμανση.

Φιλικά Χρήστος


Ο ηλίθιος είναι αήττητος
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης