εξίσωση με αντίστροφη συνάρτηση

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
Καρδαμίτσης Σπύρος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2326
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 11:14 pm
Επικοινωνία:

εξίσωση με αντίστροφη συνάρτηση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Καρδαμίτσης Σπύρος » Δευ Σεπ 12, 2011 4:39 pm

Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle{f:\Re  \to \Re } με τύπο \displaystyle{f(x) = x - \ln (e^x  + 1)}

α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση \displaystyle{f} είναι 1 – 1.
β) Να βρεθεί η αντίστροφη της συνάρτησης \displaystyle{f}
γ) Να λυθεί η εξίσωση \displaystyle{f(x) = 2  f^{ - 1} (x)}


Καρδαμίτσης Σπύρος
Άβαταρ μέλους
chris
Δημοσιεύσεις: 1176
Εγγραφή: Πέμ Μαρ 11, 2010 9:39 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα - Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: εξίσωση με αντίστροφη συνάρτηση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris » Δευ Σεπ 12, 2011 5:21 pm

Ας μην καταφύγουμε σε παραγώγους!

Α)

Είναι \displaystyle f(x)=x-ln(e^x+1)=lne^x-ln(e^x+1)=ln\left( \frac{e^x}{e^x+1}\right) με D_f=\mathbb{R}

Έτσι για κάθε x_1,x_2 \in \mathbb{R} με f(x_1)=f(x_2) έχουμε:
\displaystyle f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow ln\left(\frac{e^{x_1}}{e^{x_1}+1} \right)=ln\left(\frac{e^{x_2}}{e^{x_2}+1} \right)\Rightarrow 1-\frac{1}{e^{x_1}+1}= 1-\frac{1}{e^{x_2}+1}\Rightarrow e^{x_1}=e^{x_2}\Rightarrow x_1=x_2
άρα η f είναι "1-1".

Β)
Θέτουμε: f(x)=y και ισοδυναμα έχουμε:
\displaystyle \begin{cases} 
 y=ln\left(1-\frac{1}{e^x+1} \right)  \\  
 y<0  
\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 
 1-e^y=\frac{1}{e^x+1}  \\  
 y<0 
\end{cases}\stackrel{y \neq 0}\Leftrightarrow \begin{cases} 
e^x=\frac{e^y}{1-e^y}  \\  
y<0   
\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} 
 x=ln\left(\frac{e^y}{1-e^y} \right)  \\  
 y<0  \\  
 e^y(1-e^y)>0   
\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} 
 x= ln\left(\frac{e^y}{1-e^y} \right) \\  
 y<0  
\end{cases}

άρα \displaystyle f^{-1}:(-\infty,0)\rightarrow \mathbb{R} με \displaystyle f^{-1}(x)= ln\left(\frac{e^x}{1-e^x} \right)

Γ)
\displaystyle f(x) = 2 \cdot f^{ - 1} (x)\Rightarrow ln\left(\frac{e^x}{e^x+1} \right)=2ln\left(\frac{e^x}{1-e^x} \right)\Rightarrow \frac{e^x}{e^x+1}=\frac{e^{2x}}{e^{2x}+1-2e^x}\Rightarrow e^{3x}+e^x-2e^{2x}=e^{3x}+e^{2x}\Rightarrow 3e^{2x}=e^x\Rightarrow e^x=\frac{1}{3}\Rightarrow x=-ln3

που είναι δεκτή καθώς δουλεύομe για x<0 και αυτή η τιμή ικανοποιεί την αρχική.


Στραγάλης Χρήστος
KDORTSI
Διακεκριμένο Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1850
Εγγραφή: Τετ Μαρ 11, 2009 9:26 pm

Re: εξίσωση με αντίστροφη συνάρτηση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KDORTSI » Δευ Σεπ 12, 2011 7:09 pm

Μια γεωμετρική ερμηνεία της λύσης της εξίσωσης του τρίτου ερωτήματος:

Επειδή:

\displaystyle{f(x)=2f^{-1}(x)}

για τη λύση που βρέθηκε θα ισχύει:

\displaystyle AM=2.AC\Rightarrow AC=CM

Αυτό σημαίνει πως θα μπορούσαμε να διερευνήσουμε κι άλλες μορφές σχέσεων των τμημάτων αυτών και να
διαμορφωσουμε κατάλληλα ερωτήματα γεωμετρικής μορφής.
Στο αναρτημένο σχήμα, όταν το σημείο \displaystyle{N} διαβαίνει από το \displaystyle{-\propto} στο \displaystyle{0} οι σχέσεις των τμημάτων \displaystyle{NM'', M''M'} είναι ποικίλες.
Όταν το σημείο \displaystyle{N} βρεθεί στη θέση του \displaystyle A(-ln(3),0) τότε το σημείο \displaystyle{C} είναι το μέσο του \displaystyle{AM}.

Στο δυναμικό σχήμα που αναρτώ φαίνεται αυτή η κίνηση.

Κώστας Δόρτσιος
Συνημμένα
εξίσωση με αντίστροφη συνάρτηση.ggb
(5.23 KiB) Μεταφορτώθηκε 31 φορές
Εξίσωση με αντίστροφη συνάρτηση.PNG
Εξίσωση με αντίστροφη συνάρτηση.PNG (35.2 KiB) Προβλήθηκε 587 φορές


Θωμάς Ποδηματάς
Δημοσιεύσεις: 370
Εγγραφή: Κυρ Σεπ 25, 2011 9:23 pm
Τοποθεσία: Βόλος Μαγνησίας

Re: εξίσωση με αντίστροφη συνάρτηση

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Θωμάς Ποδηματάς » Παρ Σεπ 30, 2011 10:09 am

Καρδαμίτσης Σπύρος έγραψε:Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle{f:\Re  \to \Re } με τύπο \displaystyle{f(x) = x - \ln (e^x  + 1)}

α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση \displaystyle{f} είναι 1 – 1.
β) Να βρεθεί η αντίστροφη της συνάρτησης \displaystyle{f}
γ) Να λυθεί η εξίσωση \displaystyle{f(x) = 2  f^{ - 1} (x)}
Το θέμα απαντήθηκε, αλλά επειδή νομίζω ότι το ξεκίνησα, όπως θα έλυνα μια άσκηση ορίων - άλλωστε στο μάθημα κάνουμε την εξής άσκηση
"Να υπολογίσετε το όριο : \displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\left(\ln\left(e^{3x}+2^x+3\right)-3x+7\right)"
θέλησα να το πω : Αν είχα να υπολογίσω το \displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\left(x-\ln\left(e^x+1\right)\right)
θα προσπαθούσα στο μέτρο του δυνατού να το μετατρέψω ώστε να αποτελείται από "ομοιογενείς" ποσότητες, όπως λέω στους μαθητές μου, δηλαδή να είναι όλες οι ποσότητες της ίδιας μορφής, ή όλα πολυώνυμα ή όλα ln ή ... Έτσι στο συγκεκριμένο έχουμε δύο δυνατότητες : Ή να μετατρέψουμε το x σε ln, όπως έκανε ο συνάδελφος Chris ή να εφαρμόσω την κλασσική μέθοδο του Μέγιστου Κοινού Παράγοντα, όπως έκανα εγώ : (Προφανώς είναι το ίδιο, το μόνο που αλλάζει είναι η "οπτική γωνία" από την οποία το βλέπει κανείς) :
\displaystyle{f(x) = x - \ln (e^x  + 1)\Leftrightarrow f(x) = x - \ln \left(e^x\left(1+e^{-x}\right)\right)} δηλαδή με εφαρμογή των ιδιοτήτων του Νεπέρειου έχουμε εύκολα ότι \displaystyle{f(x) = x - x-\ln \left(1+e^{-x}\right)\Leftrightarrow f(x)=-\ln \left(1+e^{-x}\right),x \in \mathbb R},
οπότε είναι πολύ απλή για τη χειριστεί κάποιος μαθητής...
Σας ευχαριστώ για τη φιλοξενία...


Τους Λαιστρυγόνας και τους Κύκλωπας,
τον άγριο Ποσειδώνα δεν θα συναντήσεις,
αν δεν τους κουβανείς μες την ψυχή σου,
αν η ψυχή σου δεν τους στήνει εμπρός σου
(ΙΘΑΚΗ - Κ.Π. ΚΑΒΑΦΗΣ)
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης