Συναρτησιακή ξανά

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Συναρτησιακή ξανά

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Τετ Ιούλ 01, 2009 4:51 pm

Έστω η συναρτησιακή εξίσωση κ(χ+ψ)=κ(χ)+κ(ψ),χ,ψ οποιοιδήποτε πραγματικοί αριθμοί και κ συνεχής συνάρτηση,η οποία έχει ως μοναδική λύση την συνάρτηση κ(χ)=cx, c πραγματική σταθερά.
Έστω και η f(x+y)=g(x)+h(y),x,y οποιοιδήποτε πραγματικοί και f συνεχής.Nα προσδιορίσετε του τύπους των συναρτήσεων f,g,h


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1405
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: Συναρτησιακή ξανά

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Τετ Ιούλ 01, 2009 5:20 pm

Ισχυει \displaystyle \frac{f(x+y) - f(x)}{y} = \frac{h(y) - h(0)}{y} = r(y) για καθε x \in \mathbb{R}, \ y \neq 0.

Αποδεικνυουμε επαγωγικα οτι ισχυει r (p) = r(1) για καθε p \in \mathbb{Q} οποτε, αφου η r ειναι συνεχης και σταθερη στο \mathbb{Q} θα ειναι και σταθερη στο \mathbb{R}. Αρα η h ειναι γραμμικη συναρτηση, εστω h(y) = ly + m. Ομοιως αποδεικνυουμε οτι η g ειναι επισης γραμμικη συναρτηση g(x) = kx + p και ετσι η f θα ειναι της μορφης f(x) = kx + ly + p + m.

Δημητρης Σκουτερης


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: Συναρτησιακή ξανά

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Τετ Ιούλ 01, 2009 6:18 pm

Εκτός από την προσέγγιση του dement, έχουμε ως λύση κάτι πιο λυκειακό; Έχω δει μία ωραία λύση(Έδωσα την cauchy για να γίνει πιο λυκειακή).


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2180
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: Συναρτησιακή ξανά

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Πέμ Ιούλ 02, 2009 7:34 am

Είναι f(x)=g(x)+h(0) , f(y)=g(0)+h(y) τότε g,h συνεχείς και επιπλέον f(x)+f(y)=g(x)+h(y)+h(0)+g(0)=f(x+y)+f(0)
Αν w(x)=f(x)-f(0) τότε από την προηγούμενη παίρνουμε w(x)+w(y)=w(x+y) και επειδή w συνεχής τότε w(x)=kx , f(x)=kx+m , g(x)=kx+p , h(x)=kx+q
με επαλήθευση στην αρχική σχέση k(x+y)+m=kx+p+ky+q άρα p+q=m
(υπάρχει και γενίκευση θα την ανεβάσω αργότερα)


Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2180
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: Συναρτησιακή ξανά

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Πέμ Ιούλ 02, 2009 8:32 am

Η γενίκευση

Να βρείτε τους τύπους όλων των συνεχών συναρτήσεων ,f_1,f_2,...f_n όταν f(x_1+x_2+...+x_n)=f_1(x_1)+f_2(x_2)+...f_n(x_n) , \forall x_1,x_2,...,x_n \in R
Να σημειώσουμε ότι αρκεί η συνέχεια μόνον της f για να εξασφαλιστεί και η συνέχεια των υπολοίπων. Ο Τρόπος που είναι λυμένη στο συνημμένο είναι παρόμοιος με αυτόν που ανέβασα στο προηγούμενο post
Συνημμένα
forum 79.doc
(39 KiB) Μεταφορτώθηκε 42 φορές


Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: Συναρτησιακή ξανά

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Πέμ Ιούλ 02, 2009 3:05 pm

Η δική μου προσέγγιση μιας και δεν μπορώ να βρω από που πήρα την άσκηση ώστε αν δώσω και την λύση ...
Είναι f(x+y)=g(x)+h(y)
Για χ=0 έχουμε f(y)=g(0)+h(y), σχέση (1)
Για ψ=0 έχουμε f(x)=g(x)+h(0), σχέση (2)
Προσθέτουμε κατα μέλη τις (1) και (2): f(x)+f(y)=g(x)+h(y)+g(0)+h(0) οπότε f(x)+f(y)=f(x+y)+f(0)
Από την τελευταία αφαιρούμε από τα μέλη τον αριθμό 2f(0) και παίρνουμε
f(x+y)-f(0)=f(x)-f(0)+f(y)-f(0), σχέση (3). Θεωρούμε την συνάρτηση κ(χ)=f(x)-f(0),σχέση (4)
Οπότε η σχέση (3) μετασχηματίζεται στην k(x+y)=k(x)+k(y) από υπόθεση θα είναι k(x)=cx
Από (4) παίρνουμε f(x)=cx+f(0)
Από (1) παίρνουμε h(y)=cy+f(0)-g(0)=cy+h(0)
Από (2) παίρνουμε g(x)= cx+f(0)-h(0)=cx+g(0)

Πάντως η λύση που είχα δει ξεκινούσε κάπως έτσι
Για ψ=χ και χ=ψ : f(y+x)=g(y)+h(x) άρα g(y)+h(x)=g(x)+h(y) οπότε g(x)-h(x)=g(y)-h(y)= σταθερό κτλ...


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης