Συναρτησιακή ξανά

mathxl · #1

Έστω η συναρτησιακή εξίσωση κ(χ+ψ)=κ(χ)+κ(ψ),χ,ψ οποιοιδήποτε πραγματικοί αριθμοί και κ συνεχής συνάρτηση,η οποία έχει ως μοναδική λύση την συνάρτηση κ(χ)=cx, c πραγματική σταθερά.
Έστω και η f(x+y)=g(x)+h(y),x,y οποιοιδήποτε πραγματικοί και f συνεχής.Nα προσδιορίσετε του τύπους των συναρτήσεων f,g,h

dement · #2

Ισχυει $\displaystyle \frac{f(x+y) - f(x)}{y} = \frac{h(y) - h(0)}{y} = r(y)$ για καθε $x \in \mathbb{R}, \ y \neq 0$ .

Αποδεικνυουμε επαγωγικα οτι ισχυει r (p) = r(1)

για καθε $p \in \mathbb{Q}$ οποτε, αφου η

ειναι συνεχης και σταθερη στο $\mathbb{Q}$ θα ειναι και σταθερη στο $\mathbb{R}$ . Αρα η

ειναι γραμμικη συναρτηση, εστω h(y) = ly + m

. Ομοιως αποδεικνυουμε οτι η

ειναι επισης γραμμικη συναρτηση g(x) = kx + p

και ετσι η

θα ειναι της μορφης f(x) = kx + ly + p + m

.

Δημητρης Σκουτερης

mathxl · #3

Εκτός από την προσέγγιση του dement, έχουμε ως λύση κάτι πιο λυκειακό; Έχω δει μία ωραία λύση(Έδωσα την cauchy για να γίνει πιο λυκειακή).

#4

Είναι

τότε

συνεχείς και επιπλέον f(x)+f(y)=g(x)+h(y)+h(0)+g(0)=f(x+y)+f(0)

Αν

τότε από την προηγούμενη παίρνουμε w(x)+w(y)=w(x+y)

και επειδή w συνεχής τότε w(x)=kx , f(x)=kx+m , g(x)=kx+p , h(x)=kx+q

με επαλήθευση στην αρχική σχέση k(x+y)+m=kx+p+ky+q

άρα

(υπάρχει και γενίκευση θα την ανεβάσω αργότερα)

#5

Η γενίκευση

Να βρείτε τους τύπους όλων των συνεχών συναρτήσεων ,f_1,f_2,...f_n

όταν $f(x_1+x_2+...+x_n)=f_1(x_1)+f_2(x_2)+...f_n(x_n) , \forall x_1,x_2,...,x_n \in R$
Να σημειώσουμε ότι αρκεί η συνέχεια μόνον της f για να εξασφαλιστεί και η συνέχεια των υπολοίπων. Ο Τρόπος που είναι λυμένη στο συνημμένο είναι παρόμοιος με αυτόν που ανέβασα στο προηγούμενο post

mathxl · #6

Η δική μου προσέγγιση μιας και δεν μπορώ να βρω από που πήρα την άσκηση ώστε αν δώσω και την λύση ...
Είναι f(x+y)=g(x)+h(y)
Για χ=0 έχουμε f(y)=g(0)+h(y), σχέση (1)
Για ψ=0 έχουμε f(x)=g(x)+h(0), σχέση (2)
Προσθέτουμε κατα μέλη τις (1) και (2): f(x)+f(y)=g(x)+h(y)+g(0)+h(0) οπότε f(x)+f(y)=f(x+y)+f(0)
Από την τελευταία αφαιρούμε από τα μέλη τον αριθμό 2f(0) και παίρνουμε
f(x+y)-f(0)=f(x)-f(0)+f(y)-f(0), σχέση (3). Θεωρούμε την συνάρτηση κ(χ)=f(x)-f(0),σχέση (4)
Οπότε η σχέση (3) μετασχηματίζεται στην k(x+y)=k(x)+k(y) από υπόθεση θα είναι k(x)=cx
Από (4) παίρνουμε f(x)=cx+f(0)
Από (1) παίρνουμε h(y)=cy+f(0)-g(0)=cy+h(0)
Από (2) παίρνουμε g(x)= cx+f(0)-h(0)=cx+g(0)

Πάντως η λύση που είχα δει ξεκινούσε κάπως έτσι
Για ψ=χ και χ=ψ : f(y+x)=g(y)+h(x) άρα g(y)+h(x)=g(x)+h(y) οπότε g(x)-h(x)=g(y)-h(y)= σταθερό κτλ...

Συναρτησιακή ξανά

Συναρτησιακή ξανά

Re: Συναρτησιακή ξανά

Re: Συναρτησιακή ξανά

Re: Συναρτησιακή ξανά

Re: Συναρτησιακή ξανά

Re: Συναρτησιακή ξανά

Μέλη σε σύνδεση