Ισότητα συναρτήσεων

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5799
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Ισότητα συναρτήσεων

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Τετ Σεπ 14, 2011 6:58 pm

Θεωρούμε τις συναρτήσεις f ;g\ :\ \mathbb{R}\to\mathbb{R} τέτοιες ώστε

f(x) = 3x-1+| 2x+1| και g(x) =\frac{1}{5}\left( 3x+5-|2x+5|\right)\ , \ \forall x\ \in\ \mathbb{R} .

Να δείξετε ότι f\circ g = g\circ f και ( f\circ f )^{-1}= g\circ g .


Θανάσης Κοντογεώργης
Άβαταρ μέλους
Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2813
Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Ισότητα συναρτήσεων

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Πρωτοπαπάς Λευτέρης » Πέμ Σεπ 15, 2011 11:52 am

H άσκηση έχει τεράστια λύση. Θα μου επιτρέψετε να ξεκινήσω και να την ανεβάσω σε "δόσεις" :mrgreen: .

Έχουμε ότι:
\displaystyle{f(x)=\begin{cases} 
3x-1+2x+1 & \text{ if } x \geq -\frac{1}{2}  \\  
3x-1-2x-1 & \text{ if } x <-\frac{1}{2}   
\end{cases}=\begin{cases} 
5x & \text{ if } x \geq -\frac{1}{2}  \\  
x-2 & \text{ if } x <-\frac{1}{2}   
\end{cases}}

και \dipslaystyle{g(x)=\begin{cases} 
\frac{1}{5}(3x+5-2x-5) & \text{ if } x \geq -\frac{5}{2}  \\  
\frac{1}{5}(3x+5+2x+5) & \text{ if } x <-\frac{5}{2}   
\end{cases}=\begin{cases} 
\frac{x}{5} & \text{ if } x \geq -\frac{5}{2}  \\  
x+2 & \text{ if } x <-\frac{5}{2}   
\end{cases}}.

Εύρεση της fog

* Αν \displaystyle{x \geq -\frac{1}{2},f(x)=5x} και \displaystyle{x \geq -\frac{5}{2}, g(x)=\frac{x}{5}}
Αναζητώ: \displaystyle\left\{x \geq -\frac{5}{2} : \frac{x}{5} \geq -\frac{1}{2} \right\}=\left\{x \geq -\frac{5}{2} : x \geq -\frac{5}{2} \right\}=\left [-\frac{5}{2},+\infty \right )},
οπότε για \displaystyle{x \in \left [-\frac{5}{2},+\infty \right )}, έχουμε \displaystyle{(fog)(x)=f(g(x))=f \left (\frac{x}{5} \right ) = 5\frac{x}{5}=x}.

* Αν \displaystyle{x \geq -\frac{1}{2},f(x)=5x} και \displaystyle{x <-\frac{5}{2}, g(x)=x+2}
Αναζητώ: \displaystyle\left\{x \geq -\frac{5}{2} : \frac{x}{5} < -\frac{1}{2} \right\}=\left\{x \geq -\frac{5}{2} : x < -\frac{5}{2} \right\}=\emptyset}.

* Αν \displaystyle{x < -\frac{1}{2},f(x)=x+2} και \displaystyle{x \geq-\frac{5}{2}, g(x)=\frac{x}{5}}
Αναζητώ: \displaystyle\left\{x < -\frac{5}{2} : x+2 \geq -\frac{1}{2} \right\}=\left\{x < -\frac{5}{2} : x \geq -\frac{5}{2} \right\}=\emptyset}.

* Αν \displaystyle{x < -\frac{1}{2},f(x)=x-2} και \displaystyle{x < -\frac{5}{2}, g(x)=x+2}
Αναζητώ: \displaystyle\left\{x < -\frac{5}{2} : x+2 < -\frac{1}{2} \right\}=\left\{x < -\frac{5}{2} : x < -\frac{5}{2} \right\}=\left (-\infty, -\frac{5}{2} \right )},
οπότε για \displaystyle{x \in \left (-\infty, -\frac{5}{2} \right )}, έχουμε \displaystyle{(fog)(x)=f(g(x))=f \left (x+2 \right ) = x+2-2=x}.

Επομένως: (fog)(x)=x,x \in \mathbb{R}}

Εύρεση της gof

* Αν \displaystyle{x \geq -\frac{1}{2},f(x)=5x} και \displaystyle{x \geq -\frac{5}{2}, g(x)=\frac{x}{5}}
Αναζητώ: \displaystyle\left\{x \geq -\frac{1}{2} : 5x \geq -\frac{5}{2} \right\}=\left\{x \geq -\frac{1}{2} : x \geq -\frac{1}{2} \right\}=\left [-\frac{1}{2},+\infty \right )},
οπότε για \displaystyle{x \in \left [-\frac{1}{2},+\infty \right )}, έχουμε \displaystyle{(gof)(x)=g(f(x))=g \left (5x \right ) = \frac{5x}{5}=x}.

* Αν \displaystyle{x \geq -\frac{1}{2},f(x)=5x} και \displaystyle{x <-\frac{5}{2}, g(x)=x+2}
Αναζητώ: \displaystyle\left\{x \geq -\frac{1}{2} : 5x < -\frac{5}{2} \right\}=\left\{x \geq -\frac{1}{2} : x < -\frac{1}{2} \right\}=\emptyset}.

* Αν \displaystyle{x < -\frac{1}{2},f(x)=x+2} και \displaystyle{x \geq-\frac{5}{2}, g(x)=\frac{x}{5}}
Αναζητώ: \displaystyle\left\{x < -\frac{1}{2} : x-2 \geq -\frac{5}{2} \right\}=\left\{x < -\frac{1}{2} : x \geq -\frac{1}{2} \right\}=\emptyset}.

* Αν \displaystyle{x < -\frac{1}{2},f(x)=x-2} και \displaystyle{x < -\frac{5}{2}, g(x)=x+2}
Αναζητώ: \displaystyle\left\{x < -\frac{1}{2} : x-2 < -\frac{5}{2} \right\}=\left\{x < -\frac{1}{2} : x < -\frac{1}{2} \right\}=\left (-\infty, -\frac{1}{2} \right )},
οπότε για \displaystyle{x \in \left (-\infty, -\frac{1}{2} \right )}, έχουμε \displaystyle{(gof)(x)=g(f(x))=g \left (x-2 \right ) = x-2+2=x}.

Επομένως: (gof)(x)=x,x \in \mathbb{R}}.

Συνεπώς A_{fog}=A_{gof}=\mathbb{R} και (fog)(x)=(gof)(x)=x, οπότε fog=gof.


Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
Άβαταρ μέλους
Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2813
Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Ισότητα συναρτήσεων

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Πρωτοπαπάς Λευτέρης » Πέμ Σεπ 15, 2011 12:07 pm

Μετά από μια μικρή ανάσα, συνεχίζω...

Εύρεση της gog

* Αναζητώ: \displaystyle\left\{x \geq -\frac{5}{2} : \frac{x}{5} \geq -\frac{5}{2} \right\}=\left\{x \geq -\frac{5}{2} : x \geq -\frac{25}{2} \right\}=\left [-\frac{5}{2},+\infty \right )},
οπότε για \displaystyle{x \in \left [-\frac{5}{2},+\infty \right )}, έχουμε \displaystyle{(gog)(x)=g(g(x))=g \left (\frac{x}{5} \right ) = \frac{x}{25}}.

* Αναζητώ: \displaystyle\left\{x \geq -\frac{5}{2} : \frac{x}{5} < -\frac{5}{2} \right\}=\left\{x \geq -\frac{5}{2} : x < -\frac{25}{2} \right\}=\emptyset}.

* Αναζητώ: \displaystyle\left\{x < -\frac{5}{2} : x+2 \geq -\frac{5}{2} \right\}=\left\{x < -\frac{5}{2} : x \geq -\frac{9}{2} \right\}=\left [ -\frac{9}{2},-\frac{5}{2} \right )},
οπότε για \displaystyle{x \in \left [-\frac{9}{2},-\frac{5}{2} \right )}, έχουμε \displaystyle{(gog)(x)=g(g(x))=g \left (x+2 \right ) = \frac{x+2}{5}}.

* Αναζητώ: \displaystyle\left\{x < -\frac{5}{2} : x+2 < -\frac{5}{2} \right\}=\left\{x < -\frac{5}{2} : x < -\frac{9}{2} \right\}=\left (-\infty, -\frac{9}{2} \right )},
οπότε για \displaystyle{x \in \left (-\infty, -\frac{9}{2} \right )}, έχουμε \displaystyle{(gog)(x)=g(g(x))=g \left (x+2 \right ) = x+4}.

Επομένως:
\displaystyle{(gog)(x)=\begin{cases} 
\frac{x}{25} & \text{ if } x \geq - \frac{5}{2}  \\  
\frac{x+2}{5} & \text{ if } -\frac{9}{2} \leq x < -\frac{5}{2}  \\  
x+4 & \text{ if } x<-\frac{9}{2} 
\end{cases}}}.

Εύρεση της fof

* Αναζητώ: \displaystyle\left\{x \geq -\frac{1}{2} : 5x \geq -\frac{1}{2} \right\}=\left\{x \geq -\frac{1}{2} : x \geq -\frac{1}{10} \right\}=\left [-\frac{1}{10},+\infty \right )},
οπότε για \displaystyle{x \in \left [-\frac{1}{10},+\infty \right )}, έχουμε \displaystyle{(fof)(x)=f(f(x))=f \left (5x \right ) = 25x}.

* Αναζητώ: \displaystyle\left\{x \geq -\frac{1}{2} : 5x < -\frac{1}{2} \right\}=\left\{x \geq -\frac{1}{2} : x < -\frac{1}{10} \right\}=\left [ -\frac{1}{2}, -\frac{1}{10} \right )},
οπότε για \displaystyle{x \in \left [ -\frac{1}{2}, -\frac{1}{10} \right )}, έχουμε \displaystyle{(fof)(x)=f(f(x))=f \left (5x \right ) = 5x-2}.

* Αναζητώ: \displaystyle\left\{x < -\frac{1}{2} : x-2 \geq -\frac{1}{2} \right\}=\left\{x < -\frac{1}{2} : x \geq \frac{3}{2} \right\}=\emptyset}.

* Αναζητώ: \displaystyle\left\{x < -\frac{1}{2} : x-2 < -\frac{1}{2} \right\}=\left\{x < -\frac{1}{2} : x < -\frac{1}{2} \right\}=\left (-\infty, -\frac{1}{2} \right )},
οπότε για \displaystyle{x \in \left (-\infty, -\frac{1}{2} \right )}, έχουμε \displaystyle{(fof)(x)=f(f(x))=f \left (x-2 \right ) = x-4}.

Επομένως:
\displaystyle{(fof)(x)=\begin{cases} 
25x & \text{ if } x \geq - \frac{1}{10}  \\  
5x-2 & \text{ if } -\frac{1}{2} \leq x < -\frac{1}{10}  \\  
x-4 & \text{ if } x<-\frac{1}{2} 
\end{cases}}}.


Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
Άβαταρ μέλους
Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2813
Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Ισότητα συναρτήσεων

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Πρωτοπαπάς Λευτέρης » Πέμ Σεπ 15, 2011 12:32 pm

Προτελευταία ανάσα ...

Απόδειξη ότι η fof είναι 1-1

* Έστω \displaystyle{x_1,x_2 \geq -\frac{1}{10}}, έχουμε: (fof)(x_1)=(fof)(x_2) \Leftrightarrow 25x_1=25x_2 \Leftrightarrow x_1=x_2.

* Έστω \displaystyle{x_1,x_2 \in \left [-\frac{1}{2}, -\frac{1}{10} \right )}, έχουμε: (fof)(x_1)=(fof)(x_2) \Leftrightarrow 5x_1-2=5x_2-2 \Leftrightarrow x_1=x_2.

* Έστω \displaystyle{x_1,x_2 < -\frac{1}{2}}, έχουμε: (fof)(x_1)=(fof)(x_2) \Leftrightarrow x_1-4=x_2-4 \Leftrightarrow x_1=x_2.

* Έστω \displaystyle{x_1 \geq -\frac{1}{10},x_2 \in \left [-\frac{1}{2}, -\frac{1}{10} \right )}, δηλαδή x_1 \neq x_2.
Τότε:
\displaystyle{x_1 \leq -\frac{1}{10} \Leftrightarrow 25x_1 \leq -\frac{5}{2} \Leftrightarrow f(x_1) \leq -\frac{5}{2}}
και
\displaystyle{-\frac{1}{2} \leq x_2 < -\frac{1}{10} \Leftrightarrow -\frac{5}{2} \leq 5x_2 < -\frac{1}{2} \Leftrightarrow -\frac{9}{2} \leq 5x_2 -2< -\frac{5}{2} \Leftrightarrow -\frac{9}{2} \leq f(x_2)< -\frac{5}{2}},
άρα f(x_1) \neq f(x_2).

* Έστω \displaystyle{x_1 \geq -\frac{1}{10},x_2 < -\frac{1}{2}}, δηλαδή x_1 \neq x_2.
Τότε:
\displaystyle{x_1 \geq -\frac{1}{10} \Leftrightarrow 25x_1 \geq -\frac{5}{2} \Leftrightarrow f(x_1) \geq -\frac{5}{2}}
και
\displaystyle{x_2< \frac{1}{2} \Leftrightarrow x_2-4 < -\frac{1}{2}-4 \Leftrightarrow f(x_2) < -\frac{9}{2} },
άρα f(x_1) \neq f(x_2).

* Έστω \displaystyle{x_1 \in \left [-\frac{1}{2}, -\frac{1}{10} \right ),x_2 < -\frac{1}{2}}, δηλαδή x_1 \neq x_2.
Τότε:
\displaystyle{-\frac{1}{2} \leq x_1 < -\frac{1}{10} \Leftrightarrow -\frac{5}{2} \leq 5x_1 < -\frac{1}{2} \Leftrightarrow -\frac{9}{2} \leq 5x_1 -2< -\frac{5}{2} \Leftrightarrow -\frac{9}{2} \leq f(x_1)< -\frac{5}{2}},
και
\displaystyle{x_2< \frac{1}{2} \Leftrightarrow x_2-4 < -\frac{1}{2}-4 \Leftrightarrow f(x_2) < -\frac{9}{2} },
άρα f(x_1) \neq f(x_2).

Από τις 5 προηγούμενες περιπτώσεις προκύπτει ότι η fof είναι 1-1, άρα αντιστρέφεται.


Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
Άβαταρ μέλους
Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2813
Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Ισότητα συναρτήσεων

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Πρωτοπαπάς Λευτέρης » Πέμ Σεπ 15, 2011 12:49 pm

Τελευταία ανάσα ...

Πεδίο ορισμού της αντίστροφης της fof

* Αν \displaystyle{A_1=\left [-\frac{1}{10}, +\infty \right )}, από τα παραπάνω προκύπτει (3η περίπτωση) ότι:
\displaystyle{(fof)f(A_1)=\left [-\frac{5}{2}, +\infty \right) }.

* Αν \displaystyle{A_2=\left [-\frac{1}{2}, -\frac{1}{10} \right) }, από τα παραπάνω προκύπτει (3η περίπτωση) ότι:
\displaystyle{(fof)(A_2)=\left [-\frac{9}{2}, -\frac{5}{2} \right )}.

* Αν \displaystyle{A_3=\left (-\infty, -\frac{1}{2} \right )}, από τα παραπάνω προκύπτει (4η περίπτωση) ότι:
\displaystyle{(fof)(A_3)=\left (-\infty,-\frac{9}{2}\right )}.

Συνεπώς:
\displaystyle{(fof)(A)=(fof)(A_1) \cup (fof)(A_2) \cup (fof)(A_3) =\mathbb{R}},

οπότε fof: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R},

άρα (fof)^{-1}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}.

Τύπος της αντίστροφης συνάρτησης της fof

* Αν \displaystyle{x \in \left A_1}, έχουμε (fof)(x)=25x \Leftrightarrow x=\frac{(fof)(x)}{25}.

* Αν \displaystyle{x \in \left A_2}, έχουμε (fof)(x)=5x-2 \Leftrightarrow x=\frac{(fof)(x)+2}{5}.

* Αν \displaystyle{x \in \left A_3}, έχουμε (fof)(x)=x-4 \Leftrightarrow x=(fof)(x)+4.

Συνεπώς:
\displaystyle{(fof)^{-1}(x)=\begin{cases} 
\frac{x}{25} & \text{ if } x \geq - \frac{5}{2}  \\  
\frac{x+2}{5} & \text{ if } -\frac{9}{2} \leq x < -\frac{5}{2}  \\  
x+4 & \text{ if } x<-\frac{9}{2} 
\end{cases}},

οπότε (fof)^{-1}=gog.


Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
xr.tsif
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1958
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 7:14 pm

Re: Ισότητα συναρτήσεων

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από xr.tsif » Πέμ Σεπ 15, 2011 6:53 pm

:clap2:
Σιδηρόδρομος


Γιατί πάντα αριθμόν έχοντι. Άνευ τούτου ουδέν νοητόν και γνωστόν.
Atemlos
Δημοσιεύσεις: 587
Εγγραφή: Τετ Αύγ 17, 2011 6:11 am
Τοποθεσία: North

Re: Ισότητα συναρτήσεων

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Atemlos » Πέμ Σεπ 15, 2011 6:58 pm

xr.tsif έγραψε::clap2:
Σιδηρόδρομος
Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον σιδηροδρομική λύση!!! :)


socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5799
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Ισότητα συναρτήσεων

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Παρ Σεπ 16, 2011 12:49 am

Υπάρχει και λύση 1-2 γραμμών, όπως και σε αυτή... :mrgreen:


Θανάσης Κοντογεώργης
Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: Ισότητα συναρτήσεων

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Πέμ Σεπ 22, 2011 1:43 am

socrates έγραψε:Θεωρούμε τις συναρτήσεις f ;g\ :\ \mathbb{R}\to\mathbb{R} τέτοιες ώστε

f(x) = 3x-1+| 2x+1| και g(x) =\frac{1}{5}\left( 3x+5-|2x+5|\right)\ , \ \forall x\ \in\ \mathbb{R} .

Να δείξετε ότι f\circ g = g\circ f και ( f\circ f )^{-1}= g\circ g .
H \displaystyle{f} είναι \displaystyle{1-1} και αντιστρέψιμη (*) με αντίστροφη \displaystyle{f^{-1}=g} στο \displaystyle{\mathbb{R}} οπότε και η \displaystyle{g} είναι \displaystyle{1-1} και αντιστρέψιμη με αντίστροφη \displaystyle{g^{-1}=f} στο \displaystyle{\mathbb{R}} .
Oι σύνθεσεις \displaystyle{f\circ f,g\circ g} ορίζονται και είναι \displaystyle{1-1} ως συνθέσεις (**) \displaystyle{1-1} συναρτήσεων , των αντιστρέψιμων \displaystyle{f,g}.
\displaystyle{(f\circ f)\circ(g\circ g)=f\circ f\circ g\circ g=f\circ f\circ f^{-1}\circ f^{-1}=f\circ (f\circ f^{-1})\circ f^{-1}=f\circ I\circ f^{-1}=(f\circ I)\circ f^{-1}=f\circ f^{-1}=I} όπου \displaystyle{I} η ταυτοτική συνάρτηση.
Άρα \displaystyle{(f\circ f)^{-1}=(g\circ g)}.

(*),(**) : Απαιτούνται οι δύο παραπάνω αποδείξεις για να είναι πλήρης η λύση.


Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: Ισότητα συναρτήσεων

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Πέμ Οκτ 27, 2011 2:56 am

socrates έγραψε:Υπάρχει και λύση 1-2 γραμμών, όπως και σε αυτή... :mrgreen:
Να ... το πάρει το ποτάμι; :surrender:

edit: Όπως ενημερώθηκα εκ των υστέρων από τον θεματοδότη,
η παραπάνω αναφερθείσα λύση ήταν αυτή που έκανα, κι ας μου βγήκε λίγο παραπάνω από δυο γραμμές.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης