ΜΑΛΛΟΝ ΑΠΑΙΤΗΤΙΚΑ-ΑΛΛΑ ΜΕ ΣΤΟΧΟ

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

KAKABASBASILEIOS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1508
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

ΜΑΛΛΟΝ ΑΠΑΙΤΗΤΙΚΑ-ΑΛΛΑ ΜΕ ΣΤΟΧΟ

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Κυρ Σεπ 18, 2011 5:14 pm

.....Χαιρετώ την παρέα που σκέπτεται και ανοίγει ορίζοντες για όλους μας...
...Μια δημιουργία δύο θεμάτων στις Συναρτήσεις έως και το μη πεπερασμένο που πιστεύω ότι αναδεικνύει κάποιες απαιτήσεις και λεπτομέρειες...

1) Α. Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle{g:R\to R} με \displaystyle{g(x)={{x}^{3}}+3x-4,\,\,x\in R}.Να δείξετε ότι η \displaystyle{g} είναι γνήσια αύξουσα στο \displaystyle{R}
Β. Αν \displaystyle{f:R\to R} συνάρτηση ώστε να ισχύει \displaystyle{{{f}^{3}}(x)+3f(x)=x+4,\,\,x\in R}
α) Να μελετηθεί η \displaystyle{f} ως προς την μονοτονία
β) Να εξετάσετε αν οι αριθμοί 1 και 0 ανήκουν στο σύνολο τιμών της \displaystyle{f}
γ) Να βρείτε το πρόσημο των τιμών της \displaystyle{f}
δ) Αν γνωρίζουμε ότι \displaystyle{\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,f(x)=1}να υπολογίσετε αν υπάρχουν ι) \displaystyle{\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\eta \mu (\pi f(x))}{f(x)-1}} ii) \displaystyle{\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{x+f(-5)}{f(x)-1}}
ιιι) \displaystyle{\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-1}{x}}
2) Έστω \displaystyle{f:R\to R} γνήσια μονότονη συνάρτηση για την οποία γνωρίζουμε ότι \displaystyle{\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(1){{x}^{2}}-f(2)x+1}{{{x}^{2}}-1}=2}
α) Να δείξετε ότι η \displaystyle{f} είναι γνήσια αύξουσα.
β) Να δείξετε ότι \displaystyle{f(1)=5,\,\,f(2)=6}

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
Άβαταρ μέλους
Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2813
Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: ΜΑΛΛΟΝ ΑΠΑΙΤΗΤΙΚΑ-ΑΛΛΑ ΜΕ ΣΤΟΧΟ

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Πρωτοπαπάς Λευτέρης » Κυρ Σεπ 18, 2011 6:20 pm

Ξεκινώ από τη μικρή άσκηση γιατί θα φύγω...

2) α) Θέτουμε \displaystyle{g(x)=\frac{f(1){{x}^{2}}-f(2)x+1}{{{x}^{2}}-1}} για την οποία ισχύει: \displaystyle{\lim_{x\rightarrow 1}g(x)=2}}.

Τότε:
\displaystyle{g(x)(x^2-1)=f(1){{x}^{2}}-f(2)x+1},

οπότε για x κοντά στο 1, έχουμε:

\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 1}(g(x)(x^2-1))=\lim_{x \rightarrow 1}(f(1){{x}^{2}}-f(2)x+1)}} (αφού υπάρχουν
όλα τα επιμέρους όρια)

και \displaystyle{f(1)-f(2)+1=0 \Leftrightarrow f(2)=f(1)+1 (I)}.

Συνεπώς f(2)>f(1).

Αφού η f είναι γνησίως μονότονη και ισχύουν 1<2, f(1)<f(2),

η f είναι γνησίως αύξουσα στο \mathbb{R}.

β) Για για x κοντά στο 1 και λόγω της (Ι), έχουμε:

\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 1}\frac{f(1){{x}^{2}}-f(2)x+1}{{{x}^{2}}-1}=\lim_{x \rightarrow 1}\frac{f(1){{x}^{2}}-(f(1)+1)x+1}{{{x}^{2}}-1}=\lim_{x \rightarrow 1}\frac{(f(1)x-1)(x-1)}{(x-1)(x+1)}=\lim_{x \rightarrow 1}\frac{f(1)x-1}{x+1}=\frac{f(1)-1}{2}},

οπότε από το δεδομένο όριο της άσκησης έχουμε:

\displaystyle{\frac{f(1)-1}{2}=2 \Leftrightarrow f(1)-1=4 \Leftrightarrow f(1)=5}

και από την (Ι) βρίσκουμε ότι: f(2)=6.


Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
Άβαταρ μέλους
Χρήστος Λαζαρίδης
Δημοσιεύσεις: 656
Εγγραφή: Παρ Ιαν 09, 2009 10:48 am
Τοποθεσία: Παλαιό Φάληρο
Επικοινωνία:

Re: ΜΑΛΛΟΝ ΑΠΑΙΤΗΤΙΚΑ-ΑΛΛΑ ΜΕ ΣΤΟΧΟ

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Χρήστος Λαζαρίδης » Κυρ Σεπ 18, 2011 7:08 pm

1) Α. Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle{g:R\to R} με \displaystyle{g(x)={{x}^{3}}+3x-4,\,\,x\in R}.Να δείξετε ότι η \displaystyle{g} είναι γνήσια αύξουσα στο \displaystyle{R}
Β. Αν \displaystyle{f:R\to R} συνάρτηση ώστε να ισχύει \displaystyle{{{f}^{3}}(x)+3f(x)=x+4,\,\,x\in R}
α) Να μελετηθεί η \displaystyle{f} ως προς την μονοτονία
β) Να εξετάσετε αν οι αριθμοί 1 και 0 ανήκουν στο σύνολο τιμών της \displaystyle{f}
γ) Να βρείτε το πρόσημο των τιμών της \displaystyle{f}

Α. \displaystyle{ 
x_1  < x_2  \Rightarrow x_1 ^3  < x_2 ^3 ,3x_1  < 3x_2  \Rightarrow x_1 ^3  + 3x_1  < x_2 ^3  + 3x_2  \Rightarrow x_1 ^3  + 3x_1  + 4 < x_2 ^3  + 3x_2  + 4 \Rightarrow g(x_1 ) < g(x_2 ) 
}
B. \displaystyle{{{f}^{3}}(x)+3f(x)=x+4,\,\,x\in R. (1)}

α) \displaystyle{ 
(1) \Rightarrow g(f(x)) = x,x \in R 
}
Έστω, \displaystyle{x_1  < x_2 }
και \displaystyle{ 
f(x_1 ) \ge f(x_2 )\mathop  \Rightarrow \limits^{g \uparrow } g(f(x_1 )) \ge g(f(x_2 )) \Rightarrow x_1  \ge x_2  
}, άτοπο, άρα \displaystyle{f(x_1 ) < f(x_2 )}, επομένως η f είναι γνησίως αύξουσα.

β) Η (1) για \displaystyle{x = 0},
\displaystyle{{{f}^{3}}(0)+3f(0)-4=0,\}\displaystyle{ 
 \Leftrightarrow (f(0) - 1)(f^2 (0) + f(0) + 4) = 0 \Leftrightarrow f(0) = 1 
}, άρα 1 ανήκει στο σύνολο τιμών.
Η (1) για \displaystyle{ 
x =  - 4 
}
\displaystyle{ 
f( - 4)(f^2 ( - 4) + 3) = 0 \Rightarrow f( - 4) = 0 
}

Ευχαριστώ τον Chris και τον Δημήτρη για την υπόδειξη.



γ)
\displaystyle{ 
f(x) = \frac{{x + 4}}{{f^2 (x) + 3}},x \in R 
}


\displaystyle{ 
\begin{array}{l} 
 f(x) = 0 \Leftrightarrow x =  - 4 \\  
 f(x) > 0 \Leftrightarrow x >  - 4 \\  
 f(x) < 0 \Leftrightarrow x <  - 4 \\  
 \end{array} 
}


Ελπίζω να συνεχίσω αργότερα.

Φιλικά Χρήστος
τελευταία επεξεργασία από Χρήστος Λαζαρίδης σε Κυρ Σεπ 18, 2011 7:51 pm, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.


Ο ηλίθιος είναι αήττητος
Άβαταρ μέλους
Χρήστος Λαζαρίδης
Δημοσιεύσεις: 656
Εγγραφή: Παρ Ιαν 09, 2009 10:48 am
Τοποθεσία: Παλαιό Φάληρο
Επικοινωνία:

Re: ΜΑΛΛΟΝ ΑΠΑΙΤΗΤΙΚΑ-ΑΛΛΑ ΜΕ ΣΤΟΧΟ

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Χρήστος Λαζαρίδης » Κυρ Σεπ 18, 2011 7:33 pm

δ) Αν γνωρίζουμε ότι \displaystyle{\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,f(x)=1}να υπολογίσετε αν υπάρχουν ι) \displaystyle{\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\eta \mu (\pi f(x))}{f(x)-1}} ii) \displaystyle{\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{x+f(-5)}{f(x)-1}}
ιιι) \displaystyle{\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-1}{x}}


δ)

i) \displaystyle{ 
\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\eta \mu (\pi f(x))}}{{f(x) - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\eta \mu (\pi  - \pi f(x))}}{{f(x) - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{ - \eta \mu \pi (f(x) - 1)}}{{f(x) - 1}}\mathop  = \limits^{y = f(x) - 1}
\displaystyle{ 
 - \pi \mathop {\lim }\limits_{y \to 0} \frac{{\eta \mu (\pi y)}}{{\pi y}} =  - \pi  
}

ii) \displaystyle{ - 5 <  - 4 \Rightarrow f( - 5) < 0}
\displaystyle{ 
\mathop {\lim }\limits_{x \to 0^ -  } \frac{1}{{f(x) - 1}} =  - \infty  \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0^ -  } \frac{{x + f( - 5)}}{{f(x) - 1}} =  + \infty  
}
\displaystyle{ 
\mathop {\lim }\limits_{x \to 0^ +  } \frac{1}{{f(x) - 1}} =  + \infty  \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0^ -  } \frac{{x + f( - 5)}}{{f(x) - 1}} =  - \infty  
}
Το όριο δεν υπάρχει.
iii)
\displaystyle{ 
f^3 (x) - 1 + 3f(x) - 3 = x \Rightarrow (f(x) - 1)(f^2 (x) + f(x) + 1) + 3(f(x) - 1) = x \Rightarrow \frac{{f(x) - 1}}{x} = \frac{1}{{f^2 (x) + f(x) + 4}} 
}
\displaystyle{ 
\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f(x) - 1}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{{f^2 (x) + f(x) + 4}} = \frac{1}{6} 
}

Ας μου συγχωρεθούν τα λάθη στην πληκτολόγηση.
Φιλικά Χρήστος


Ο ηλίθιος είναι αήττητος
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης