Ακόμη δύο

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Christiano
Δημοσιεύσεις: 22
Εγγραφή: Σάβ Σεπ 03, 2011 12:48 pm

Ακόμη δύο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christiano » Τρί Σεπ 20, 2011 6:16 pm

1)Έστω f συνεχής στο[-1,1] και μη σταθερή. Να δειχτεί ότι υπάρχει x_{0} \in [-1,1] ώστε f(x_{0})=\frac{2f(0)+3f(\frac{1}{2})+4f(1)}{9}

2)Έστω f συνεχής στο[a,b]. Aν x_{1},x_{2},x_{3} \in [a,b] και κ,λ,μ θετικοί αριθμοί με κ+λ+μ=2006, να αποδειχθεί ότι υπάρχει \xi \in [a,b] ώστε \kappa f(x_{1})+\lambda f(x_{2})+ \mu f(x_{3})=2006f(\xi).


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11549
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ακόμη δύο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Σεπ 20, 2011 7:22 pm

Christiano έγραψε:1)Έστω f συνεχής στο[-1,1] και μη σταθερή. Να δειχτεί ότι υπάρχει x_{0} \in [-1,1] ώστε f(x_{0})=\frac{2f(0)+3f(\frac{1}{2})+4f(1)}{9}

2)Έστω f συνεχής στο[a,b]. Aν x_{1},x_{2},x_{3} \in [a,b] και κ,λ,μ θετικοί αριθμοί με κ+λ+μ=2006, να αποδειχθεί ότι υπάρχει \xi \in [a,b] ώστε \kappa f(x_{1})+\lambda f(x_{2})+ \mu f(x_{3})=2006f(\xi).
'Εστω f(a), f(b) η πιο μικρή και, αντίστοιχα, η πιο μεγάλη από τις τρεις τιμές f(0), f(\frac{1}{2}), f(1). Τότε
\displaystyle \frac{2f(0)+3f(\frac{1}{2})+4f(1)}{9} \le\frac{2f(b)+3f(b)+4f(b)}{9}=f(b) και όμοια \ge f(a). Το ζητούμενο τώρα έπεται από Bolzano.

Για την 2), και γενικότερα για κάθε κυρτό συνδυασμό τιμών της συνάρτης, η απόδειξη είναι παρόμοια.

Μ.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης