Ανίσωση με αντίστροφη

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
Καρδαμίτσης Σπύρος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2326
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 11:14 pm
Επικοινωνία:

Ανίσωση με αντίστροφη

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Καρδαμίτσης Σπύρος » Τετ Σεπ 21, 2011 10:06 pm

Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle{ 
f(x) = \alpha ^x  - x 
} , \displaystyle{ 
x \in \Re  
}, \displaystyle{ 
0 < \alpha  < 1 
}


i) Να δείξετε ότι η συνάρτηση \displaystyle{ 
f 
} είναι γνησίως φθίνουσα (χωρίς φυσικά παραγώγους)

ii) Να βρεθούν τα , \displaystyle{ 
x \in \Re  
} για τα οποία ισχύει: \displaystyle{ 
\alpha ^{x^2  + 1}  - \alpha ^{2x}  \ge (x - 1)^2  
}


iii) Nα λυθεί η ανίσωση \displaystyle{ 
f^{ - 1} (x) > 0 
}


Καρδαμίτσης Σπύρος
xr.tsif
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1958
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 7:14 pm

Re: Ανίσωση με αντίστροφη

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από xr.tsif » Τετ Σεπ 21, 2011 11:07 pm

Καλύτερα να την αφήσουμε για τους μαθητές


Γιατί πάντα αριθμόν έχοντι. Άνευ τούτου ουδέν νοητόν και γνωστόν.
Orestis
Δημοσιεύσεις: 8
Εγγραφή: Παρ Σεπ 23, 2011 1:53 am

Re: Ανίσωση με αντίστροφη

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Orestis » Παρ Σεπ 23, 2011 2:42 am

i) Έστω \chi1, \chi 2 \in \Re με \chi 1\prec \chi 2. Επειδή 0\prec\alpha \prec 1 τότε \chi 1\prec \chi 2\Leftrightarrow \alpha ^{\chi 1}\succ \alpha ^{\chi 2}  \left(1 \right)
Και από υπόθεση \chi 1\prec \chi 2\Leftrightarrow -\chi 1\succ -\chi 2 \left(2 \right)
Από \left(1 \right)+\left(2 \right)\Leftrightarrow \alpha ^{\chi 1}+\chi 1\succ\alpha ^{\chi 2}+\chi 2\Leftrightarrowf   \Leftrightarrow f \left(\chi 1 \right)\succ f\left(\chi 2 \right). Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο \Re .

ii)
\alpha ^{\chi ^{2}+1} -\alpha ^{2\chi }\geq \left(\chi -1 \right)^{2}\Leftrightarrow \alpha ^{\chi ^{2}+1} -\alpha ^{2\chi } \geq \chi ^{2}-2\chi  +1\Leftrightarrow \alpha ^{\chi ^{2}+1} -\left(\chi ^{2}+1 \right) \geq    \alpha ^{2\chi }-2\chi \Leftrightarrow f\left(\chi ^{2}+1 \right)\geq f\left(2\chi  \right)\Leftrightarrow  \chi ^{2}+1\leq 2\chi \Leftrightarrow \chi ^{2}-2\chi +1\leq 0 \Leftrightarrow  \left(\chi -1 \right)^{2}\leq 0\Leftrightarrow \left(\chi -1 \right)^{2}=0\Leftrightarrow \chi -1=0\Leftrightarrow x=1

iii)f^{-1}\left(\chi  \right)\succ 0\Leftr \Leftrightarrow  \chi \prec f\left(0 \right)\Leftrightarrow \chi \prec 1


Άβαταρ μέλους
Καρδαμίτσης Σπύρος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2326
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 11:14 pm
Επικοινωνία:

Re: Ανίσωση με αντίστροφη

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Καρδαμίτσης Σπύρος » Παρ Σεπ 23, 2011 6:55 am

Καλώς ήλθες Ορέστη στην μεγάλη και ωραία παρέα του :logo: .
Σ ευχαριστώ για την λύση σου.


Καρδαμίτσης Σπύρος
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης