ΕΧΟΥΜΕ ΦΘΑΣΕΙ ΣΤΑ ΟΡΙΑ....

#1

...Καλησπέρα σε όσουν ξενυχτουν..και μιά και έχουμε φθάσει στα όρια....
δύο λίγο απαιτητικά θέματα από το αρχειο μου, αγνώστου πηγής...

1) Αν για τη συνάρτηση $f:R\to R$ είναι $\displaystyle{\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)+x}{x-1}=2}$ . Να βρεθεί αν υπάρχει το : $\displaystyle{\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{f}^{2}}(x)-f(x)-2}{\sqrt{{{f}^{2}}(x)+3}-2x}}$

2) Αν για συνάρτηση f γνωρίζουμε ότι $\displaystyle{\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-2{{x}^{2}}}{{{x}^{3}}-1}=a}$ Να βρεθεί το α ώστε να ισχύει $\displaystyle{\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{f}^{2}}(x)+f(x)-6}{x-1}=5}$

Φιλικά καιμαθηματικά
Βασίλης

Ωmega Man · #2

Για το πρώτο, για $\bf f(x)=x-2$

$\displaystyle \bf \lim_{x\to 1}\frac{f^2(x)-f(x)-2}{\sqrt{f^2(x)+3}-2x}$

με L'Hospital:

$\displaystyle\bf\lim_{x\to 1}\frac{2f(x)f'(x)-f'(x)}{\frac{f(x)f'(x)}{\sqrt{f^2(x)+1}}-2}=\frac{3}{\frac{1}{2}+2}=2$

Για το δεύτερο όριο,

έστω $\displaystyle \bf f(x)=a(x^3-1)+2x^2$ , τότε

$\bf\displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{f^2(x)-f(x)-6}{x-1}$

με L'Hospital,

$\displaystyle\bf\lim_{x\to 1}\frac{2f(x)f'(x)-f'(x)}{1}=2(2)(3a+2)-(3a+2)=3(3a+2)$

άρα $\displaystyle{\bf a=-\frac{1}{9}}$
.

#3

α) Για $x \in A_f-\left \{ 1 \right \}$ ,

θέτουμε $\displaystyle{g(x)=\frac{f(x)+x}{x-1}}$ με $\dipslaystyle{\lim_{x \rightarrow 1}g(x)=2}$ ,

οπότε f(x)=g(x)(x-1)-x

.

Για

κοντά στο 1, έχουμε: $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 1}f(x)=-1$ .

Για κάθε $x \in A=\left\{x \in A_f-\left\{1 \right\}/\sqrt{f^2(x)+3}-2x \neq 0 \right \}$ , έχουμε ότι:

$\displaystyle{\frac{f^2(x)-f(x)-2}{\sqrt{f^2(x)+3}-2x}=\frac{f^2(x)-x^2-f(x)-x+x^2+x-2}{f^2(x)+3-4x^2}\left(\sqrt{f^2(x)+3}+2x \right)=$

$\displaystyle{=\frac{(f(x)-x)(f(x)+x)-(f(x)+x)+(x-1)(x+2)}{f^2(x)-x^2-3x^2+3}\left(\sqrt{f^2(x)+3}+2x \right)=$

$\displaystyle{=\frac{(f(x)-x)\frac{f(x)+x}{x-1}-\frac{f(x)+x}{x-1}+(x+2)}{(f(x)-x)\frac{f(x)+x}{x-1}-3(x+1)}\left(\sqrt{f^2(x)+3}+2x \right)}$ .

Τότε για

κοντά στο 1 έχουμε:

$\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 1}\frac{f^2(x)-f(x)-2}{\sqrt{f^2(x)+3}-2x}=\lim_{x \rightarrow 1}\frac{(f(x)-x)\frac{f(x)+x}{x-1}-\frac{f(x)+x}{x-1}+(x+2)}{(f(x)-x)\frac{f(x)+x}{x-1}-3(x+1)}\left(\sqrt{f^2(x)+3}+2x \right)=$

$\displaystyle{=\frac{(-2) \cdot 2-2+3}{(-2) \cdot 2 -3 \cdot 2}(\sqrt{(-1)^2+3}+2) }=\frac{12}{10}=\frac{6}{5}}$ .

#4

β) Για $x \in A_f-\left \{ 1 \right \}$ ,

θέτουμε $\displaystyle{g(x)=\frac{f(x)-2x^2}{x^3-1}}$ με $\dipslaystyle{\lim_{x \rightarrow 1}g(x)=a}$ ,

οπότε f(x)=g(x)(x^3-1)+2x^2

.

Για

κοντά στο 1, έχουμε: $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 1}f(x)=2$ και

$\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 1}\frac{f(x)-2x^2}{x-1}=\lim_{x \rightarrow 1}(g(x)(x^2+x+1))=3a}$ .

Για κάθε $x \in A_f-\left\{1 \right\}}$ , έχουμε ότι:

$\displaystyle{\frac{f^2(x)+f(x)-6}{x-1}=\frac{f^2(x)-4x^4+f(x)-2x^2+4x^4+2x^2-6}{x-1}}=$

$\displaystyle{=\frac{(f(x)-2x^2)(f(x)+2x^2)+(f(x)-2x^2)+2(x-1)(x+1)(2x^2+3)}{x-1}=$

$\displaystyle{=\frac{f(x)-2x^2}{x-1}(f(x)+2x^2)+\frac{f(x)-2x^2}{x-1}+2(x+1)(2x^2+3)$

Τότε για

κοντά στο 1 έχουμε:

$\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 1}\frac{f^2(x)+f(x)-6}{x-1}}=\lim_{x \rightarrow 1}\left(\frac{f(x)-2x^2}{x-1}(f(x)+2x^2)+\frac{f(x)-2x^2}{x-1}+2(x+1)(2x^2+3) \right)=$

$=3a \cdot 4 + 3a + 2 \cdot 2 \cdot 5 = 15a +20$ .

Συνεπώς:

$\displaystyle{15a+20=5 \Leftrightarrow a = -1}$ .

#5

Ωmega Man έγραψε:Για το πρώτο, για $\bf f(x)=x-2$
<...>

Προσοχή, όμως. Δεν ισχύει κατ' ανάγκη αυτό. Θα μπορούσε π.χ. να είναι f(x)=x-2 + (x-1)^2

.

Το μόνο που μπορούμε να πούμε είναι $\displaystyle \lim_{x\to 1}\left( f(x)+x\right)=0$ και ειδικά $\displaystyle \lim_{x\to 1} f(x)=-1$ .

Διορθώνεται όμως η απόδειξη αν πούμε ότι, από την δοθείσα, είναι επίσης $\lim_{x\to 1}\frac {f(x) +1}{x-1}= \lim_{x\to 1}\left( \frac {f(x) + x}{x-1}-1\right) = 2-1=1$ , και λοιπά.

Μ.

Edit: Έκανα μία διόθωση.

geomyljason · #6

Πιο πάνω δόθηκαν 2 λύσεις για το 2ο όριο και βρήκαν διαφορετική τιμή για το

. Πως γίνεται αυτό;

parmenides51 · #7

Η λύση του Ωmega Man δεν είναι σωστή γιατί θεώρησε ότι η συνάρτηση $\displaystyle{f(x)}$ έχει συγκεκριμένο τύπο,
το οποίο δεν ισχύει, οπότε έχουμε μόνο μια λύση, του Λευτέρη.

#8

KAKABASBASILEIOS έγραψε:...Καλησπέρα σε όσουν ξενυχτουν..και μιά και έχουμε φθάσει στα όρια....
δύο λίγο απαιτητικά θέματα από το αρχειο μου, αγνώστου πηγής...

1) Αν για τη συνάρτηση $f:R\to R$ είναι $\displaystyle{\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)+x}{x-1}=2}$ . Να βρεθεί αν υπάρχει το : $\displaystyle{\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{f}^{2}}(x)-f(x)-2}{\sqrt{{{f}^{2}}(x)+3}-2x}}$

2) Αν για συνάρτηση f γνωρίζουμε ότι $\displaystyle{\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-2{{x}^{2}}}{{{x}^{3}}-1}=a}$ Να βρεθεί το α ώστε να ισχύει $\displaystyle{\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{f}^{2}}(x)+f(x)-6}{x-1}=5}$

Φιλικά καιμαθηματικά
Βασίλης

Αλλιώς, για παράδειγμα στο 2, γράφουμε:

$\displaystyle{\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{f}^{2}}(x)+f(x)-6}{x-1}}=\displaystyle{\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{f(x)-2}{x-1}(f(x)+3)\right)}$

και "αδιαφορούμε" για το f(x)+3, επικεντρωνόμενοι στην απροσδιοριστία. Π.χ.:

$...=\displaystyle{\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\left( \left( \frac{f(x)-2x^2}{x-1}+\frac{2x^2-2}{x-1}\right)\left( f(x)+3\right)\right)}=\displaystyle{\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\left( \left(\left(x^2+x+1 \right) \frac{f(x)-2x^2}{x^3-1}+2(x+1)\right)\left( f(x)+3\right)\right)}=(3a+4)\cdot 5$
κ.λπ.

ΕΧΟΥΜΕ ΦΘΑΣΕΙ ΣΤΑ ΟΡΙΑ....

ΕΧΟΥΜΕ ΦΘΑΣΕΙ ΣΤΑ ΟΡΙΑ....

Re: ΕΧΟΥΜΕ ΦΘΑΣΕΙ ΣΤΑ ΟΡΙΑ....

Re: ΕΧΟΥΜΕ ΦΘΑΣΕΙ ΣΤΑ ΟΡΙΑ....

Re: ΕΧΟΥΜΕ ΦΘΑΣΕΙ ΣΤΑ ΟΡΙΑ....

Re: ΕΧΟΥΜΕ ΦΘΑΣΕΙ ΣΤΑ ΟΡΙΑ....

Re: ΕΧΟΥΜΕ ΦΘΑΣΕΙ ΣΤΑ ΟΡΙΑ....

Re: ΕΧΟΥΜΕ ΦΘΑΣΕΙ ΣΤΑ ΟΡΙΑ....

Re: ΕΧΟΥΜΕ ΦΘΑΣΕΙ ΣΤΑ ΟΡΙΑ....

Μέλη σε σύνδεση