ΕΧΟΥΜΕ ΦΘΑΣΕΙ ΣΤΑ ΟΡΙΑ....

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

KAKABASBASILEIOS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1508
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

ΕΧΟΥΜΕ ΦΘΑΣΕΙ ΣΤΑ ΟΡΙΑ....

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Παρ Σεπ 23, 2011 12:48 am

...Καλησπέρα σε όσουν ξενυχτουν..και μιά και έχουμε φθάσει στα όρια....
δύο λίγο απαιτητικά θέματα από το αρχειο μου, αγνώστου πηγής...

1) Αν για τη συνάρτηση f:R\to R είναι \displaystyle{\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)+x}{x-1}=2}. Να βρεθεί αν υπάρχει το : \displaystyle{\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{f}^{2}}(x)-f(x)-2}{\sqrt{{{f}^{2}}(x)+3}-2x}}

2) Αν για συνάρτηση f γνωρίζουμε ότι \displaystyle{\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-2{{x}^{2}}}{{{x}^{3}}-1}=a} Να βρεθεί το α ώστε να ισχύει \displaystyle{\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{f}^{2}}(x)+f(x)-6}{x-1}=5}

Φιλικά καιμαθηματικά
Βασίλης


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
Ωmega Man
Δημοσιεύσεις: 1264
Εγγραφή: Παρ Ιουν 05, 2009 8:17 am

Re: ΕΧΟΥΜΕ ΦΘΑΣΕΙ ΣΤΑ ΟΡΙΑ....

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ωmega Man » Παρ Σεπ 23, 2011 4:51 am

Για το πρώτο, για \bf f(x)=x-2

\displaystyle \bf \lim_{x\to 1}\frac{f^2(x)-f(x)-2}{\sqrt{f^2(x)+3}-2x}

με L'Hospital:

\displaystyle\bf\lim_{x\to 1}\frac{2f(x)f'(x)-f'(x)}{\frac{f(x)f'(x)}{\sqrt{f^2(x)+1}}-2}=\frac{3}{\frac{1}{2}+2}=2

Για το δεύτερο όριο,

έστω \displaystyle \bf f(x)=a(x^3-1)+2x^2, τότε

\bf\displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{f^2(x)-f(x)-6}{x-1}

με L'Hospital,

\displaystyle\bf\lim_{x\to 1}\frac{2f(x)f'(x)-f'(x)}{1}=2(2)(3a+2)-(3a+2)=3(3a+2)

άρα \displaystyle{\bf a=-\frac{1}{9}}
.


What's wrong with a Greek in Hamburg?
Άβαταρ μέλους
Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2813
Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: ΕΧΟΥΜΕ ΦΘΑΣΕΙ ΣΤΑ ΟΡΙΑ....

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Πρωτοπαπάς Λευτέρης » Παρ Σεπ 23, 2011 9:34 am

α) Για x \in A_f-\left \{ 1 \right \},

θέτουμε \displaystyle{g(x)=\frac{f(x)+x}{x-1}} με \dipslaystyle{\lim_{x \rightarrow 1}g(x)=2},

οπότε f(x)=g(x)(x-1)-x.

Για x κοντά στο 1, έχουμε: \displaystyle{\lim_{x\rightarrow 1}f(x)=-1.

Για κάθε x \in A=\left\{x \in A_f-\left\{1 \right\}/\sqrt{f^2(x)+3}-2x \neq 0 \right \}, έχουμε ότι:

\displaystyle{\frac{f^2(x)-f(x)-2}{\sqrt{f^2(x)+3}-2x}=\frac{f^2(x)-x^2-f(x)-x+x^2+x-2}{f^2(x)+3-4x^2}\left(\sqrt{f^2(x)+3}+2x \right)=

\displaystyle{=\frac{(f(x)-x)(f(x)+x)-(f(x)+x)+(x-1)(x+2)}{f^2(x)-x^2-3x^2+3}\left(\sqrt{f^2(x)+3}+2x \right)=

\displaystyle{=\frac{(f(x)-x)\frac{f(x)+x}{x-1}-\frac{f(x)+x}{x-1}+(x+2)}{(f(x)-x)\frac{f(x)+x}{x-1}-3(x+1)}\left(\sqrt{f^2(x)+3}+2x \right)}.

Τότε για x κοντά στο 1 έχουμε:

\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 1}\frac{f^2(x)-f(x)-2}{\sqrt{f^2(x)+3}-2x}=\lim_{x \rightarrow 1}\frac{(f(x)-x)\frac{f(x)+x}{x-1}-\frac{f(x)+x}{x-1}+(x+2)}{(f(x)-x)\frac{f(x)+x}{x-1}-3(x+1)}\left(\sqrt{f^2(x)+3}+2x \right)=

\displaystyle{=\frac{(-2) \cdot 2-2+3}{(-2) \cdot 2 -3 \cdot 2}(\sqrt{(-1)^2+3}+2) }=\frac{12}{10}=\frac{6}{5}}.


Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
Άβαταρ μέλους
Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2813
Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: ΕΧΟΥΜΕ ΦΘΑΣΕΙ ΣΤΑ ΟΡΙΑ....

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Πρωτοπαπάς Λευτέρης » Παρ Σεπ 23, 2011 9:55 am

β) Για x \in A_f-\left \{ 1 \right \},

θέτουμε \displaystyle{g(x)=\frac{f(x)-2x^2}{x^3-1}} με \dipslaystyle{\lim_{x \rightarrow 1}g(x)=a},

οπότε f(x)=g(x)(x^3-1)+2x^2.

Για x κοντά στο 1, έχουμε: \displaystyle{\lim_{x\rightarrow 1}f(x)=2 και

\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 1}\frac{f(x)-2x^2}{x-1}=\lim_{x \rightarrow 1}(g(x)(x^2+x+1))=3a}.

Για κάθε x \in A_f-\left\{1 \right\}}, έχουμε ότι:

\displaystyle{\frac{f^2(x)+f(x)-6}{x-1}=\frac{f^2(x)-4x^4+f(x)-2x^2+4x^4+2x^2-6}{x-1}}=

\displaystyle{=\frac{(f(x)-2x^2)(f(x)+2x^2)+(f(x)-2x^2)+2(x-1)(x+1)(2x^2+3)}{x-1}=

\displaystyle{=\frac{f(x)-2x^2}{x-1}(f(x)+2x^2)+\frac{f(x)-2x^2}{x-1}+2(x+1)(2x^2+3)

Τότε για x κοντά στο 1 έχουμε:

\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 1}\frac{f^2(x)+f(x)-6}{x-1}}=\lim_{x \rightarrow 1}\left(\frac{f(x)-2x^2}{x-1}(f(x)+2x^2)+\frac{f(x)-2x^2}{x-1}+2(x+1)(2x^2+3) \right)=

=3a \cdot 4 + 3a + 2 \cdot 2 \cdot 5 = 15a +20.

Συνεπώς:

\displaystyle{15a+20=5 \Leftrightarrow a = -1}.


Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11547
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: ΕΧΟΥΜΕ ΦΘΑΣΕΙ ΣΤΑ ΟΡΙΑ....

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Σεπ 23, 2011 12:20 pm

Ωmega Man έγραψε:Για το πρώτο, για \bf f(x)=x-2
<...>
Προσοχή, όμως. Δεν ισχύει κατ' ανάγκη αυτό. Θα μπορούσε π.χ. να είναι f(x)=x-2 + (x-1)^2.

Το μόνο που μπορούμε να πούμε είναι \displaystyle \lim_{x\to 1}\left( f(x)+x\right)=0 και ειδικά \displaystyle \lim_{x\to 1} f(x)=-1.

Διορθώνεται όμως η απόδειξη αν πούμε ότι, από την δοθείσα, είναι επίσης \lim_{x\to 1}\frac {f(x) +1}{x-1}= \lim_{x\to 1}\left( \frac {f(x) + x}{x-1}-1\right) = 2-1=1, και λοιπά.

Μ.

Edit: Έκανα μία διόθωση.


geomyljason
Δημοσιεύσεις: 34
Εγγραφή: Πέμ Μάιος 28, 2009 12:27 pm

Re: ΕΧΟΥΜΕ ΦΘΑΣΕΙ ΣΤΑ ΟΡΙΑ....

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από geomyljason » Σάβ Σεπ 24, 2011 6:44 pm

Πιο πάνω δόθηκαν 2 λύσεις για το 2ο όριο και βρήκαν διαφορετική τιμή για το a. Πως γίνεται αυτό;


Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: ΕΧΟΥΜΕ ΦΘΑΣΕΙ ΣΤΑ ΟΡΙΑ....

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Σάβ Σεπ 24, 2011 9:11 pm

Η λύση του Ωmega Man δεν είναι σωστή γιατί θεώρησε ότι η συνάρτηση \displaystyle{f(x)} έχει συγκεκριμένο τύπο,
το οποίο δεν ισχύει, οπότε έχουμε μόνο μια λύση, του Λευτέρη.


Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1816
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: ΕΧΟΥΜΕ ΦΘΑΣΕΙ ΣΤΑ ΟΡΙΑ....

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Σάβ Σεπ 24, 2011 10:02 pm

KAKABASBASILEIOS έγραψε:...Καλησπέρα σε όσουν ξενυχτουν..και μιά και έχουμε φθάσει στα όρια....
δύο λίγο απαιτητικά θέματα από το αρχειο μου, αγνώστου πηγής...

1) Αν για τη συνάρτηση f:R\to R είναι \displaystyle{\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)+x}{x-1}=2}. Να βρεθεί αν υπάρχει το : \displaystyle{\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{f}^{2}}(x)-f(x)-2}{\sqrt{{{f}^{2}}(x)+3}-2x}}

2) Αν για συνάρτηση f γνωρίζουμε ότι \displaystyle{\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-2{{x}^{2}}}{{{x}^{3}}-1}=a} Να βρεθεί το α ώστε να ισχύει \displaystyle{\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{f}^{2}}(x)+f(x)-6}{x-1}=5}

Φιλικά καιμαθηματικά
Βασίλης
Αλλιώς, για παράδειγμα στο 2, γράφουμε:

\displaystyle{\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{f}^{2}}(x)+f(x)-6}{x-1}}=\displaystyle{\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{f(x)-2}{x-1}(f(x)+3)\right)}

και "αδιαφορούμε" για το f(x)+3, επικεντρωνόμενοι στην απροσδιοριστία. Π.χ.:

...=\displaystyle{\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\left( \left( \frac{f(x)-2x^2}{x-1}+\frac{2x^2-2}{x-1}\right)\left( f(x)+3\right)\right)}=\displaystyle{\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\left( \left(\left(x^2+x+1 \right) \frac{f(x)-2x^2}{x^3-1}+2(x+1)\right)\left( f(x)+3\right)\right)}=(3a+4)\cdot 5
κ.λπ.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης