Συναρτησιακή

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4230
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Συναρτησιακή

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Σάβ Σεπ 24, 2011 4:49 pm

Δίνεται η συνάρτηση f:R\rightarrow R για την οποία ισχύει ότι

f(x+y)=f(x)f(a-y)+f(y)f(a-x) για κάθε x,y\epsilon R όπου a είναι ένας πραγματικός αριθμός. Αν επί πλέον ισχύει ότι

f(0)f(a)>0 να αποδείξετε ότι η f είναι σταθερή.


Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2183
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: Συναρτησιακή

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Σάβ Σεπ 24, 2011 5:15 pm

Είναι η 9Γ20 εδώ σελίδα 44


ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4230
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Συναρτησιακή

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Σάβ Σεπ 24, 2011 6:05 pm

R BORIS έγραψε:Είναι η 9Γ20 εδώ σελίδα 44

ΣΥΝΑΔΕΛΦΕ, τί θαυμάσια εργασία είναι αυτή;; Δεν την είχα δεί. Το ευχαριστώ, είναι το ελάχιστο που μπορώ να πω.
Να είσαι καλά.

Ιωάννου Δημήτρης

ΙΣΤΙΑΙΑ


Άβαταρ μέλους
emouroukos
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1396
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Re: Συναρτησιακή

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από emouroukos » Σάβ Σεπ 24, 2011 6:47 pm

Πρόκειται για το Θέμα 1 της Βαλκανικής Μαθηματικής Ολυμπιάδας του 1987, το οποίο "αντιμετώπισα" τότε ως μαθητής...

Η λύση που είχα δώσει τότε, αν θυμάμαι καλά, είναι η εξής:

\bullet Θέτουμε στη δοσμένη σχέση \displaystyle{x = y = 0} και βρίσκουμε ότι \displaystyle{f\left( 0 \right) = 2f\left( 0 \right)f\left( a \right)}. Αφού \displaystyle{f\left( 0 \right) \ne 0}, προκύπτει ότι \displaystyle{f\left( a \right) = \frac{1}{2}}.

\bullet Θέτουμε στη δοσμένη σχέση \displaystyle{x = 0} και \displaystyle{y = a} και βρίσκουμε ότι \displaystyle{f\left( a \right) = {f^2}\left( 0 \right) + {f^2}\left( a \right)}, δηλαδή \displaystyle{{f^2}\left( 0 \right) = \frac{1}{4}}. Αφού οι αριθμοί \displaystyle{f\left( 0 \right)} και \displaystyle{f\left( a \right)} είναι ομόσημοι, προκύπτει ότι \displaystyle{f\left( 0 \right) = \frac{1}{2}}.

\bullet Θέτουμε στη δοσμένη σχέση \displaystyle{y = 0}, οπότε προκύπτει ότι \displaystyle{f\left( x \right) = f\left( {a - x} \right)} για κάθε πραγματικό αριθμό \displaystyle{x}.

Επομένως, η δοσμένη συναρτησιακή σχέση γράφεται ισοδύναμα:

\boxed{\displaystyle{f\left( {x + y} \right) = 2f\left( x \right)f\left( y \right)}} (\color{red} \star)

για κάθε x,y \in \mathbb{R}.

\bullet Θέτουμε στην (\color{red} \star) το \displaystyle{\frac{x}{2}} στη θέση του \displaystyle{x} και του \displaystyle{y}, οπότε προκύπτει ότι \displaystyle{f\left( x \right) = 2{f^2}\left( {\frac{x}{2}} \right) \ge 0} για κάθε x \in \mathbb{R}.

\bullet Θέτουμε στην (\color{red} \star) \displaystyle{y =  - x}, οπότε προκύπτει ότι \displaystyle{f\left( x \right) > 0} και \displaystyle{f\left( { - x} \right) = \frac{1}{{4f\left( x \right)}}} για κάθε x \in \mathbb{R}.

\bullet Θέτουμε στην (\color{red} \star) όπου \displaystyle{x} τo \displaystyle{a} και όπου \displaystyle{y} το -x, οπότε προκύπτει ότι \displaystyle{f\left( {a - x} \right) = f\left( { - x} \right)} για κάθε x \in \mathbb{R}.

Έτσι, έχουμε ότι \displaystyle{f\left( x \right) = f\left( {a - x} \right) = f\left( { - x} \right) = \frac{1}{{4f\left( x \right)}}}, οπότε \displaystyle{{f^2}\left( x \right) = \frac{1}{4}} για κάθε x \in \mathbb{R}. Εφόσον, λοιπόν, \displaystyle{f\left( x \right) > 0}, προκύπτει ότι

\displaystyle{\boxed{f\left( x \right) = \frac{1}{2}}}

για κάθε x \in \mathbb{R}, η οποία επαληθεύει τη δοσμένη συναρτησιακή σχέση.


Βαγγέλης Μουρούκος

Erro ergo sum.
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης