Μια προτεινόμενη άσκηση

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
wavelet
Δημοσιεύσεις: 48
Εγγραφή: Κυρ Σεπ 25, 2011 8:29 am
Επικοινωνία:

Μια προτεινόμενη άσκηση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από wavelet » Κυρ Σεπ 25, 2011 3:57 pm

Έστω f,g:[a,b]\rightarrow R

Εάν \forall x \in (a,b) ισχύει g(x)<2 |f(x)-f(a)|

και

g(x) \ge 2 |f(x_{o})-f(a)|+|f(x)-f(x_{o})|,\forall x_{o} \in (a,x) , \forall x \in (a,b)

Να δείξετε ότι οι συναρτήσεις g,g+f,g-f είναι γν. αύξουσες στο διάστημα (a,b)

Edit: Έγινε διόρθωση. Προστέθηκαν τα 2 που έλλειπαν αρχικά.
τελευταία επεξεργασία από wavelet σε Κυρ Σεπ 25, 2011 8:53 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11566
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Μια προτεινόμενη άσκηση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Σεπ 25, 2011 4:04 pm

wavelet έγραψε:Έστω f,g:[a,b]\rightarrow R

Εάν \forall x \in (a,b) ισχύει g(x)<|f(x)-f(a)|

και

g(x) \ge |f(x_{o})-f(a)|+|f(x)-f(x_{o})|,\forall x_{o} \in (a,x) , \forall x \in (a,b)

Να δείξετε ότι οι συναρτήσεις g,g+f,g-f είναι γν. αύξουσες στο διάστημα (a,b)
Σίγουρα; Το παρακάτω δείχνει ότι δεν υπάρχει τέτοια g. Πράγματι

g(x)<|f(x)-f(a)| \le |f(x)-f(x_{o})| + |f(x_{o})-f(a)|\le g(x) , άτοπο.

Μ.


Άβαταρ μέλους
wavelet
Δημοσιεύσεις: 48
Εγγραφή: Κυρ Σεπ 25, 2011 8:29 am
Επικοινωνία:

Re: Μια προτεινόμενη άσκηση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από wavelet » Κυρ Σεπ 25, 2011 5:39 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Σίγουρα; Το παρακάτω δείχνει ότι δεν υπάρχει τέτοια g. Πράγματι

g(x)<|f(x)-f(a)| \le |f(x)-f(x_{o})| + |f(x_{o})-f(a)|\le g(x) , άτοπο.

Μ.
Ναι σωστά κάτι δεν έγραψα σωστά, δεν το έχω τώρα εδώ. Σύντομα θα το διορθώσω.


Άβαταρ μέλους
wavelet
Δημοσιεύσεις: 48
Εγγραφή: Κυρ Σεπ 25, 2011 8:29 am
Επικοινωνία:

Re: Μια προτεινόμενη άσκηση

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από wavelet » Κυρ Σεπ 25, 2011 8:54 pm

νομίζω τώρα είναι οκ.


styt_geia
Δημοσιεύσεις: 167
Εγγραφή: Τρί Νοέμ 23, 2010 12:16 am

Re: Μια προτεινόμενη άσκηση

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από styt_geia » Δευ Σεπ 26, 2011 1:38 pm

α) Έστω x_1, \, x_2 \in (a,b) με x_1< x_2. Τότε

\displaystyle g(x_2) \geq 2 |f(x_1)-f(a)| + |f(x_2)-f(x_1)|= |f(x_1)-f(a)|+ \left \{ |f(x_1)-f(a)|+ |f(x_2)-f(x_1)| \right \} \geq  |f(x_1)-f(a)|+|f(x_1)-f(a)+f(x_2)-f(x_1)|=|f(x_1)-f(a)|+|f(a)-f(x_2)| > \frac{g(x_1)}{2}+\frac{g(x_2)}{2} \Rightarrow g(x_2)>g(x_1) \Rightarrow g \uparrow

β,γ) Έστω x_1, \, x_2 \in (a,b) με x_1< x_2. Τότε

g(x_2)-g(x_1)> \left \{ 2 |f(x_1)-f(a)| + |f(x_2)-f(x_1)| \right \} + \left \{ -2|f(x_1)-f(a)| \right \} = |f(x_2)-f(x_1)| (*)

Από την (*) τώρα λόγω της ιδιότητας |y|\geq y,-y \, \forall  y \in \mathbb{R} προκύπτει ότι

g(x_2)-g(x_1)> |f(x_2)-f(x_1)| \geq f(x_2)-f(x_1) \Rightarrow \\ g(x_2)-f(x_2)> g(x_1)-f(x_1) \Rightarrow g-f \, \uparrow

αλλά και

g(x_2)-g(x_1)> |f(x_2)-f(x_1)| \geq f(x_1)-f(x_2) \Rightarrow \\ g(x_2)+f(x_2)> g(x_1)+f(x_1) \Rightarrow g+f \, \uparrow


Κώστας
Άβαταρ μέλους
wavelet
Δημοσιεύσεις: 48
Εγγραφή: Κυρ Σεπ 25, 2011 8:29 am
Επικοινωνία:

Re: Μια προτεινόμενη άσκηση

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από wavelet » Τρί Σεπ 27, 2011 3:50 pm

styt_geia έγραψε:α) Έστω x_1, \, x_2 \in (a,b) με x_1< x_2. Τότε

\displaystyle g(x_2) \geq 2 |f(x_1)-f(a)| + |f(x_2)-f(x_1)|= |f(x_1)-f(a)|+ \left \{ |f(x_1)-f(a)|+ |f(x_2)-f(x_1)| \right \} \geq  |f(x_1)-f(a)|+|f(x_1)-f(a)+f(x_2)-f(x_1)|=|f(x_1)-f(a)|+|f(a)-f(x_2)| > \frac{g(x_1)}{2}+\frac{g(x_2)}{2} \Rightarrow g(x_2)>g(x_1) \Rightarrow g \uparrow

β,γ) Έστω x_1, \, x_2 \in (a,b) με x_1< x_2. Τότε

g(x_2)-g(x_1)> \left \{ 2 |f(x_1)-f(a)| + |f(x_2)-f(x_1)| \right \} + \left \{ -2|f(x_1)-f(a)| \right \} = |f(x_2)-f(x_1)| (*)

Από την (*) τώρα λόγω της ιδιότητας |y|\geq y,-y \, \forall  y \in \mathbb{R} προκύπτει ότι

g(x_2)-g(x_1)> |f(x_2)-f(x_1)| \geq f(x_2)-f(x_1) \Rightarrow \\ g(x_2)-f(x_2)> g(x_1)-f(x_1) \Rightarrow g-f \, \uparrow

αλλά και

g(x_2)-g(x_1)> |f(x_2)-f(x_1)| \geq f(x_1)-f(x_2) \Rightarrow \\ g(x_2)+f(x_2)> g(x_1)+f(x_1) \Rightarrow g+f \, \uparrow
:D ωραία λύση!


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες