Να λυθεί η εξίσωση στο R

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

tasosjs
Δημοσιεύσεις: 28
Εγγραφή: Τρί Φεβ 03, 2009 12:56 pm

Να λυθεί η εξίσωση στο R

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από tasosjs » Κυρ Σεπ 25, 2011 8:00 pm

(x^{5}+x+1)^{5}+x^{5}+2=0


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4430
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Να λυθεί η εξίσωση στο R

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Κυρ Σεπ 25, 2011 8:23 pm

Αν και η άσκηση βρίσκεται σε φάκελο ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ, δεν βλέπω το λόγο να δυσκολευόμαστε με κάτι που σε λίγες (;) μέρες(*) θα είναι άσκηση ρουτίνας...

Η συνάρτηση \displaystyle 
f\left( x \right) = \left( {x^5  + x + 1} \right)^5  + x^5  + 2 είναι παραγωγίσιμη στο R με
\displaystyle 
f'\left( x \right) = 5\left( {x^5  + x + 1} \right)^4 \left( {5x^4  + 1} \right) + 5x^4  > 0 για κάθε \displaystyle 
x \in R οπότε η f(x) είναι γνήσια αύξουσα στο R.

Είναι \displaystyle 
f\left( { - 1} \right) = 0 οπότε η ρίζα \displaystyle 
x =  - 1 είναι η μοναδική της εξίσωσης: \displaystyle 
f\left( x \right) = 0

(*) Αναφέρομαι στους μαθητές της Γ΄ Λυκείου που θα διδαχτούν (με βάση το επίσημο σχολικό πρόγραμμα τις Παραγώγους περίπου Οκτώβριο - Νοέμβριο).


Άβαταρ μέλους
Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2813
Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Να λυθεί η εξίσωση στο R

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Πρωτοπαπάς Λευτέρης » Δευ Σεπ 26, 2011 10:45 am

Άντε και η λύση με την προτεινόμενη ύλη.

Έστω f\left( x \right) = \left( {x^5  + x + 1} \right)^5  + x^5  + 2, x \in \mathbb{R}.

Προφανής ρίζα x=-1, αφού f(-1)=(-1-1+1)^5-1+2=-1-1+2=0.

Έστω x_1,x_2 \in \mathbb{R} με x_1<x_2, οπότε x_1^5<x_2^5,

άρα x_1^5+x_1<x_2^5+x_2 \Leftrightarrow x_1^5+x_1+1<x_2^5+x_2 +1 \Leftrightarrow (x_1^5+x_1+1)^5<(x_2^5+x_2 +1)^5,

οπότε (x_1^5+x_1+1)^5+x_1^5<(x_2^5+x_2 +1)^5 +x_2^5 \Leftrightarrow

\Leftrightarrow (x_1^5+x_1+1)^5+x_1^5+2<(x_2^5+x_2 +1)^5 +x_2^5+2,

δηλαδή η f είναι γνησίως αύξουσα, άρα η ρίζα x=-1 είναι μοναδική.


Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
Άβαταρ μέλους
Χρήστος Λαζαρίδης
Δημοσιεύσεις: 656
Εγγραφή: Παρ Ιαν 09, 2009 10:48 am
Τοποθεσία: Παλαιό Φάληρο
Επικοινωνία:

Re: Να λυθεί η εξίσωση στο R

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Χρήστος Λαζαρίδης » Δευ Σεπ 26, 2011 11:37 am

tasosjs έγραψε:(x^{5}+x+1)^{5}+x^{5}+2=0
Συμφωνώ απόλυτα με την άποψη του Γιώργου και με τη λύση του Λευτέρη.
Παρ' όλα αυτά παρουσιάζω ένα ''βλακώδη'' τρόπο, χάριν επανάληψης.
Θεωρούμε τη συνάρτηση \displaystyle{f(x) = x^5  + x + 1,x \in R}
Η f είναι γνησίως αύξουσα επομένως αντιστρέφεται. Η εξίσωση είναι ισοδύναμη:
\displaystyle{f(f(x)) = x \Leftrightarrow f(x) = f^{ - 1} (x)\mathop  \Leftrightarrow \limits^{f \uparrow } f(x) = x \Leftrightarrow x^5  + x + 1 = x \Leftrightarrow x^5  =  - 1 \Leftrightarrow x =  - 1}

Φιλικά Χρήστος


Ο ηλίθιος είναι αήττητος
xr.tsif
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1958
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 7:14 pm

Re: Να λυθεί η εξίσωση στο R

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από xr.tsif » Δευ Σεπ 26, 2011 12:05 pm

Χρήστος Λαζαρίδης έγραψε:
tasosjs έγραψε:(x^{5}+x+1)^{5}+x^{5}+2=0
Συμφωνώ απόλυτα με την άποψη του Γιώργου και με τη λύση του Λευτέρη.
Παρ' όλα αυτά παρουσιάζω ένα ''βλακώδη'' τρόπο, χάριν επανάληψης.
Θεωρούμε τη συνάρτηση \displaystyle{f(x) = x^5  + x + 1,x \in R}
Η f είναι γνησίως αύξουσα επομένως αντιστρέφεται. Η εξίσωση είναι ισοδύναμη:
\displaystyle{f(f(x)) = x \Leftrightarrow f(x) = f^{ - 1} (x)\mathop  \Leftrightarrow \limits^{f \uparrow } f(x) = x \Leftrightarrow x^5  + x + 1 = x \Leftrightarrow x^5  =  - 1 \Leftrightarrow x =  - 1}

Φιλικά Χρήστος
:clap2:


Γιατί πάντα αριθμόν έχοντι. Άνευ τούτου ουδέν νοητόν και γνωστόν.
Άβαταρ μέλους
Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2813
Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Να λυθεί η εξίσωση στο R

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Πρωτοπαπάς Λευτέρης » Δευ Σεπ 26, 2011 12:10 pm

Χρήστος Λαζαρίδης έγραψε:
Συμφωνώ απόλυτα με την άποψη του Γιώργου και με τη λύση του Λευτέρη.
Παρ' όλα αυτά παρουσιάζω ένα ''βλακώδη'' τρόπο, χάριν επανάληψης.
Θεωρούμε τη συνάρτηση \displaystyle{f(x) = x^5  + x + 1,x \in R}
Η f είναι γνησίως αύξουσα επομένως αντιστρέφεται. Η εξίσωση είναι ισοδύναμη:
\displaystyle{f(f(x)) = x \Leftrightarrow f(x) = f^{ - 1} (x)\mathop  \Leftrightarrow \limits^{f \uparrow } f(x) = x \Leftrightarrow x^5  + x + 1 = x \Leftrightarrow x^5  =  - 1 \Leftrightarrow x =  - 1}

Φιλικά Χρήστος

Εξαιρετική λύση :10sta10:


Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8262
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Να λυθεί η εξίσωση στο R

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Δευ Σεπ 26, 2011 12:21 pm

Γιώργος Ρίζος έγραψε:... δεν βλέπω το λόγο να δυσκολευόμαστε με κάτι που σε λίγες (;) μέρες(*) θα είναι άσκηση ρουτίνας...
Γιώργο εμένα να μου επιτρέψεις να διαφωνήσω. Θεωρώ παιδαγωγικά ορθή την εξής πρακτική:

Σκοπεύουμε σύντομα να διδάξουμε κάποιο θεώρημα ή κάποια μέθοδο επίλυσης συγκεκριμένων ασκήσεων. Προτού την διδάξουμε, δίνουμε στους μαθητές μια άσκηση η οποία χωρίς την γνώση του θεωρήματος είναι μεν κατανοητή αλλά είναι σχεδόν αδύνατον να λυθεί, ενώ με την γνώση του θεωρήματος γίνεται πλέον τετριμμένη. Όταν διδάξουμε το θεώρημα τότε τους λέμε να ξαναδοκιμάσουν την άσκηση. Με την προϋπόθεση ότι ο μαθητής πραγματικά είχε προσπαθήσει να λύσει την άσκηση, αυτή μετατρέπεται από μια τετριμμένη εφαρμογή του θεωρήματος σε ένα εργαλείο για την κατανόηση της ισχύος του.

Αν βέβαια τα πιο πάνω μπορούν να εφαρμοστούν στο σχολείο αυτό είναι άλλη ιστορία. Οι καλοί μαθητές πιθανώς θα γνωρίζουν το θεώρημα είτε από το φροντιστήριο είτε από προσωπική μελέτη, και οι υπόλοιποι μάλλον δεν θα ασχοληθούν περισσότερο από πέντε λεπτά (ίσως και πολλά λέω) με κάτι που δεν μπορούν να λύσουν. Οπότε στο τέλος μάλλον παράπονα θα υπάρχουν που τους δόθηκε άσκηση που δεν λυνόταν με αυτά που γνώριζαν.


tasosjs
Δημοσιεύσεις: 28
Εγγραφή: Τρί Φεβ 03, 2009 12:56 pm

Re: Να λυθεί η εξίσωση στο R

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από tasosjs » Δευ Σεπ 26, 2011 1:41 pm

Απλώς ήθελα να λυθεί χωρίς την βοήθεια των παραγώγων αλλα οπως λύθηκε απο τον κύριο Χρήστος Λαζαρίδης.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης