εξίσωση με αντίστροφη συνάρτηση

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
Καρδαμίτσης Σπύρος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2326
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 11:14 pm
Επικοινωνία:

εξίσωση με αντίστροφη συνάρτηση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Καρδαμίτσης Σπύρος » Κυρ Σεπ 25, 2011 9:15 pm

Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle{g(x) = x + 3e^{x - 2} }, όπου \displaystyle{x \in \Re }, καθώς και η συνάρτηση \displaystyle{f:\Re  \to \Re } για την οποία ισχύει:
\displaystyle{(g \circ f)(x) = 8 - 3e^{x - 2} } για κάθε \displaystyle{x \in \Re }

α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση \displaystyle{f} είναι 1-1

β) Να λυθεί η εξίσωση: \displaystyle{ 
f(f(\left| x \right| - 3) + e^x  - 1) - f(e^x  + 1) = 0 
}


Καρδαμίτσης Σπύρος
kostas136
Δημοσιεύσεις: 631
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 6:47 pm
Τοποθεσία: Αθήνα, Ν. Αττικής
Επικοινωνία:

Re: εξίσωση με αντίστροφη συνάρτηση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kostas136 » Κυρ Σεπ 25, 2011 10:39 pm

Μια απόπειρα.
\displaystyle g\circ f(x)=f(x)+3e^{f(x)-2}

Άρα: \displaystyle f(x)+3e^{f(x)-2}=8-3e^{x-2}, \forall x\in R

Έστω \displaystyle f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow f(x_1)+3e^{f(x_1)-2}=f(x_2)+3e^{f(x_2)-2}\Rightarrow 8-3e^{x_1-2}=8-3e^{x_2-2}\Rightarrow x_1=x_2

Δηλαδή η f είναι "1-1".

Τότε για την δεύτερη εξίσωση προκύπτει:

\displaystyle f(|x|-3)+e^{x}-1=e^{x}+1\Rightarrow f(|x|-3)=2\Rightarrow g\circ f(|x|-3)=g(2)\Rightarrow 8-3e^{|x|-5}=5\Rightarrow e^{|x|-5}=1\Rightarrow x=5 \vee x=-5


Life is like a box of chocolates. You never know what you might find inside!
To be the Black Swan, to be perfect!
Κώστας Καπένης
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Απόκης
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 5092
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
Τοποθεσία: Πάτρα
Επικοινωνία:

Re: εξίσωση με αντίστροφη συνάρτηση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Απόκης » Κυρ Σεπ 25, 2011 10:46 pm

α) Η συνάρτηση g\circ f είναι 1-1. Πράγματι, αν θεωρήσουμε x_1,x_2 \in \mathbb R με (g\circ f)(x_1)=(g\circ f)(x_2)\Rightarrow 8-3e^{x_1-2}=8-3e^{x_2-2} \Rightarrow

\Rightarrow e^{x_1-2}=e^{x_2-2}\Rightarrow x_1=x_2.

Έστω, τώρα, x_1,x_2 \in \mathbb R με f(x_1)= f(x_2)\Rightarrow (g\circ f)(x_1)=(g\circ f)(x_2)\overset{gof:1-1}\Rightarrow x_1=x_2. Άρα και η f:1-1.

β) Η εξίσωση γράφεται \displaystyle{f(f(|x|-3)+e^x-1)=f(e^x+1)\overset{f:1-1}\Rightarrow f(|x|-3)+e^x-1=e^x+1 \Rightarrow f(|x|-3)=2} (1).

Aπό τις δοσμένες σχέσεις έχουμε g(2)=2+3e^0=5 και (g\circ f)(2)=8-3e^0=5. Από τη σχέση (1) προκύπτει:

\displaystyle{(g\circ f)(|x|-3)=g(2)\Rightarrow (g\circ f)(|x|-3)=(g\circ f)(2)\overset{gof:1-1}\Rightarrow |x|-3=2 \Rightarrow x=\pm 5}.

Σημ. Aφήνω τη λύση αφού διαφέρει λίγο...


Γιώργος
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης