mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Σεπ 25, 2011 9:15 pm**

Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{g(x) = x + 3e^{x - 2} }$ , όπου $\displaystyle{x \in \Re }$ , καθώς και η συνάρτηση $\displaystyle{f:\Re \to \Re }$ για την οποία ισχύει:
$\displaystyle{(g \circ f)(x) = 8 - 3e^{x - 2} }$ για κάθε $\displaystyle{x \in \Re }$

α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ είναι 1-1

β) Να λυθεί η εξίσωση: $\displaystyle{ f(f(\left| x \right| - 3) + e^x - 1) - f(e^x + 1) = 0 }$

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Σεπ 25, 2011 10:39 pm**

Μια απόπειρα.
$\displaystyle g\circ f(x)=f(x)+3e^{f(x)-2}$

Άρα: $\displaystyle f(x)+3e^{f(x)-2}=8-3e^{x-2}, \forall x\in R$

Έστω $\displaystyle f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow f(x_1)+3e^{f(x_1)-2}=f(x_2)+3e^{f(x_2)-2}\Rightarrow 8-3e^{x_1-2}=8-3e^{x_2-2}\Rightarrow x_1=x_2$

Δηλαδή η

είναι "1-1".

Τότε για την δεύτερη εξίσωση προκύπτει:

$\displaystyle f(|x|-3)+e^{x}-1=e^{x}+1\Rightarrow f(|x|-3)=2\Rightarrow g\circ f(|x|-3)=g(2)\Rightarrow 8-3e^{|x|-5}=5\Rightarrow e^{|x|-5}=1\Rightarrow x=5 \vee x=-5$

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Σεπ 25, 2011 10:46 pm**

α) Η συνάρτηση $g\circ f$ είναι 1-1

. Πράγματι, αν θεωρήσουμε $x_1,x_2 \in \mathbb R$ με $(g\circ f)(x_1)=(g\circ f)(x_2)\Rightarrow 8-3e^{x_1-2}=8-3e^{x_2-2} \Rightarrow$

$\Rightarrow e^{x_1-2}=e^{x_2-2}\Rightarrow x_1=x_2$ .

Έστω, τώρα, $x_1,x_2 \in \mathbb R$ με $f(x_1)= f(x_2)\Rightarrow (g\circ f)(x_1)=(g\circ f)(x_2)\overset{gof:1-1}\Rightarrow x_1=x_2$ . Άρα και η f:1-1

.

β) Η εξίσωση γράφεται $\displaystyle{f(f(|x|-3)+e^x-1)=f(e^x+1)\overset{f:1-1}\Rightarrow f(|x|-3)+e^x-1=e^x+1 \Rightarrow f(|x|-3)=2}$ (1).

Aπό τις δοσμένες σχέσεις έχουμε g(2)=2+3e^0=5

και $(g\circ f)(2)=8-3e^0=5$ . Από τη σχέση (1) προκύπτει:

$\displaystyle{(g\circ f)(|x|-3)=g(2)\Rightarrow (g\circ f)(|x|-3)=(g\circ f)(2)\overset{gof:1-1}\Rightarrow |x|-3=2 \Rightarrow x=\pm 5}$ .

Σημ. Aφήνω τη λύση αφού διαφέρει λίγο...

mathematica.gr

εξίσωση με αντίστροφη συνάρτηση

εξίσωση με αντίστροφη συνάρτηση

Re: εξίσωση με αντίστροφη συνάρτηση

Re: εξίσωση με αντίστροφη συνάρτηση