Εξίσωση

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Εξίσωση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Δευ Σεπ 26, 2011 3:46 pm

Να λύσετε την εξίσωση

\displaystyle{\sqrt {{e^{{x^2}}}}  + \ln x = {e^x} + \ln 2,x > 0}


Δική μου κατασκευή.


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Άβαταρ μέλους
Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2813
Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Εξίσωση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Πρωτοπαπάς Λευτέρης » Δευ Σεπ 26, 2011 4:13 pm

Θέτουμε \displaystyle{f(x)=e^x-ln\frac{1}{x},x>0}.

Η δοσμένη εξίσωση είναι ισοδύναμη της \displaystyle{f\left (\frac{x^2}{2} \right )=f(x).

Προφανής ρίζα το x=2, η οποία είναι και μοναδική αφού η f είναι γνησίως αύξουσα στο (0,+\infty).


Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
Νικος Αντωνόπουλος
Δημοσιεύσεις: 74
Εγγραφή: Παρ Οκτ 08, 2010 8:38 pm
Τοποθεσία: Ιλιον

Re: Εξίσωση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Νικος Αντωνόπουλος » Δευ Σεπ 26, 2011 4:23 pm

Μια λίγο πιο αναλυτική λύση πάνω στο ίδιο πνεύμα με το Λευτέρη, που με πρόλαβε.
Αν ονομάσουμε (1) τη δοσμένη εξίσωση τότε: (1)\Leftrightarrow {{e}^{\frac{{{\text{x}}^{2}}}{\text{2}}}}-{{e}^{x}}=\ln \frac{2x}{{{x}^{2}}}\Leftrightarrow {{e}^{\frac{{{\text{x}}^{2}}}{\text{2}}}}-{{e}^{x}}=\ln x-\ln \frac{{{\text{x}}^{2}}}{\text{2}}\Leftrightarrow {{e}^{\frac{{{\text{x}}^{2}}}{\text{2}}}}+\ln \frac{{{\text{x}}^{2}}}{\text{2}}={{e}^{x}}+\ln x (2)
οπότε αν θεωρήσουμε τη συνάρτηση f(x)={{e}^{x}}+\ln x,x>0 η οποία είναι γνησίως μονότονη και κατά συνέπεια ένα προς ένα, λαμβάνουμε (2)\Leftrightarrow f(\frac{{{\text{x}}^{2}}}{\text{2}})=f(x)\Leftrightarrow x=2 δεδομένου ότι x>0


nikan-dos
hsiodos
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1235
Εγγραφή: Σάβ Απρ 18, 2009 1:12 am

Re: Εξίσωση

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από hsiodos » Δευ Σεπ 26, 2011 4:51 pm

Η εξίσωση γράφεται ισοδύναμα:

\displaystyle{ 
e^{\frac{{x^2 }}{2}}  - e^x  = \ln \left( {\frac{2}{x}} \right)\,\,\,(1)} και έχει προφανή λύση την \displaystyle{x = 2}

Αν \displaystyle{x > 2} τότε \displaystyle{ 
\frac{{x^2 }}{2} > x\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,0 < \frac{2}{x} < 1} οπότε η (1) είναι αδύνατη αφού το πρώτο μέλος είναι θετικό ενώ το δεύτερο αρνητικό.

Αν \displaystyle{0 < x < 2} τότε \displaystyle{ 
\,\frac{{x^2 }}{2} < x\,\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\,\,\,\frac{2}{x} > 1} οπότε η (1) είναι και πάλι αδύνατη αφού τώρα το πρώτο μέλος είναι αρνητικό ενώ το δεύτερο θετικό.

Συνεπώς μοναδική λύση της (1) είναι η \displaystyle{x = 2}

Γιώργος


Γιώργος Ροδόπουλος
Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6823
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Εξίσωση

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Δευ Σεπ 26, 2011 5:35 pm

Για \displaystyle{ 
x > 2 \Rightarrow \frac{{x^2 }}{2} > x \Rightarrow e^{\frac{{x^2 }}{2}}  > e^x  \wedge \ln x > \ln 2 \Rightarrow e^{\frac{{x^2 }}{2}}  + \ln x > e^x  + \ln 2 
}

Ενώ για

\displaystyle{ 
0 < x < 2 \Rightarrow \frac{{x^2 }}{2} < x \Rightarrow e^{\frac{{x^2 }}{2}}  < e^x  \wedge \ln x < \ln 2 \Rightarrow e^{\frac{{x^2 }}{2}}  + \ln x < e^x  + \ln 2 
}

Παρατηρώ πως για \displaystyle{ 
x = 2 
} ισχύει η ισότητα

Συνεπώς η \displaystyle{ 
x = 2 
} είναι μοναδική λύση για \displaystyle{ 
x >0 
}
.


Χρήστος Κυριαζής
Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: Εξίσωση

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Δευ Σεπ 26, 2011 9:44 pm

Σας ευχαριστώ για τις απαντήσεις σας. Σκέφτηκα την \displaystyle{f\left( x \right) = \sqrt {{e^x}}  + \ln x,x > 0}
με \displaystyle{f\left( {{x^2}} \right) = f\left( {2x} \right)}


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης