Σελίδα 1 από 1

Εξίσωση

Δημοσιεύτηκε: Δευ Σεπ 26, 2011 3:46 pm
από mathxl
Να λύσετε την εξίσωση

\displaystyle{\sqrt {{e^{{x^2}}}}  + \ln x = {e^x} + \ln 2,x > 0}


Δική μου κατασκευή.

Re: Εξίσωση

Δημοσιεύτηκε: Δευ Σεπ 26, 2011 4:13 pm
από Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Θέτουμε \displaystyle{f(x)=e^x-ln\frac{1}{x},x>0}.

Η δοσμένη εξίσωση είναι ισοδύναμη της \displaystyle{f\left (\frac{x^2}{2} \right )=f(x).

Προφανής ρίζα το x=2, η οποία είναι και μοναδική αφού η f είναι γνησίως αύξουσα στο (0,+\infty).

Re: Εξίσωση

Δημοσιεύτηκε: Δευ Σεπ 26, 2011 4:23 pm
από Νικος Αντωνόπουλος
Μια λίγο πιο αναλυτική λύση πάνω στο ίδιο πνεύμα με το Λευτέρη, που με πρόλαβε.
Αν ονομάσουμε (1) τη δοσμένη εξίσωση τότε: (1)\Leftrightarrow {{e}^{\frac{{{\text{x}}^{2}}}{\text{2}}}}-{{e}^{x}}=\ln \frac{2x}{{{x}^{2}}}\Leftrightarrow {{e}^{\frac{{{\text{x}}^{2}}}{\text{2}}}}-{{e}^{x}}=\ln x-\ln \frac{{{\text{x}}^{2}}}{\text{2}}\Leftrightarrow {{e}^{\frac{{{\text{x}}^{2}}}{\text{2}}}}+\ln \frac{{{\text{x}}^{2}}}{\text{2}}={{e}^{x}}+\ln x (2)
οπότε αν θεωρήσουμε τη συνάρτηση f(x)={{e}^{x}}+\ln x,x>0 η οποία είναι γνησίως μονότονη και κατά συνέπεια ένα προς ένα, λαμβάνουμε (2)\Leftrightarrow f(\frac{{{\text{x}}^{2}}}{\text{2}})=f(x)\Leftrightarrow x=2 δεδομένου ότι x>0

Re: Εξίσωση

Δημοσιεύτηκε: Δευ Σεπ 26, 2011 4:51 pm
από hsiodos
Η εξίσωση γράφεται ισοδύναμα:

\displaystyle{ 
e^{\frac{{x^2 }}{2}}  - e^x  = \ln \left( {\frac{2}{x}} \right)\,\,\,(1)} και έχει προφανή λύση την \displaystyle{x = 2}

Αν \displaystyle{x > 2} τότε \displaystyle{ 
\frac{{x^2 }}{2} > x\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,0 < \frac{2}{x} < 1} οπότε η (1) είναι αδύνατη αφού το πρώτο μέλος είναι θετικό ενώ το δεύτερο αρνητικό.

Αν \displaystyle{0 < x < 2} τότε \displaystyle{ 
\,\frac{{x^2 }}{2} < x\,\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\,\,\,\frac{2}{x} > 1} οπότε η (1) είναι και πάλι αδύνατη αφού τώρα το πρώτο μέλος είναι αρνητικό ενώ το δεύτερο θετικό.

Συνεπώς μοναδική λύση της (1) είναι η \displaystyle{x = 2}

Γιώργος

Re: Εξίσωση

Δημοσιεύτηκε: Δευ Σεπ 26, 2011 5:35 pm
από chris_gatos
Για \displaystyle{ 
x > 2 \Rightarrow \frac{{x^2 }}{2} > x \Rightarrow e^{\frac{{x^2 }}{2}}  > e^x  \wedge \ln x > \ln 2 \Rightarrow e^{\frac{{x^2 }}{2}}  + \ln x > e^x  + \ln 2 
}

Ενώ για

\displaystyle{ 
0 < x < 2 \Rightarrow \frac{{x^2 }}{2} < x \Rightarrow e^{\frac{{x^2 }}{2}}  < e^x  \wedge \ln x < \ln 2 \Rightarrow e^{\frac{{x^2 }}{2}}  + \ln x < e^x  + \ln 2 
}

Παρατηρώ πως για \displaystyle{ 
x = 2 
} ισχύει η ισότητα

Συνεπώς η \displaystyle{ 
x = 2 
} είναι μοναδική λύση για \displaystyle{ 
x >0 
}
.

Re: Εξίσωση

Δημοσιεύτηκε: Δευ Σεπ 26, 2011 9:44 pm
από mathxl
Σας ευχαριστώ για τις απαντήσεις σας. Σκέφτηκα την \displaystyle{f\left( x \right) = \sqrt {{e^x}}  + \ln x,x > 0}
με \displaystyle{f\left( {{x^2}} \right) = f\left( {2x} \right)}