Υπάρχει ρίζα

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5799
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Υπάρχει ρίζα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Παρ Σεπ 30, 2011 12:58 am

Θεωρούμε συνεχή συνάρτηση f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} τέτοια ώστε f ( x + 3) + f ( x -1) = f ( x +1) + x, για κάθε πραγματικό αριθμό x.

Να δείξετε ότι η εξίσωση f ( x) = 5 έχει μια τουλάχιστον πραγματική ρίζα.


Θανάσης Κοντογεώργης
KAKABASBASILEIOS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1508
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: Υπάρχει ρίζα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Παρ Σεπ 30, 2011 1:48 am

...Καλησπέρα στην παρέα με μιά προσπάθεια στην συνέχεια...

Αν g(x)=f(x)-5,\,\,x\in R τότε f(x)=g(x)+5,\,\,x\in Rκαι η δοθείσα σχέση γίνεται g(x+3)+5+g(x-1)+5=g(x+1)+5+x ή

g(x+3)+g(x-1)=g(x+1)+x-5(1)

Για x=4 έχουμε g(7)+g(3)=g(5)-1 (2)

και για x=6 έχουμε g(9)+g(5)=g(7)+1 (3)

από πρόσθεση των (2),(3) προκύπτει g(9)+g(3)=0 άρα g(3)=-g(9)

και επειδή στο [3,\,9] η g συνεχής και g(3)g(9)=-{{g}^{2}}(9)\le 0

στην περίπτωση που g(9)=0 τότε και g(3)=0

και αν g(9)\ne 0από θεώρημα Bolzano υπάρχει {{x}_{0}}\in (3,\,\,9)ώστε g({{x}_{0}})=0

οπότε σε κάθε περίπτωση η g έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο [3,9]άρα ….

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
nikoszan
Δημοσιεύσεις: 952
Εγγραφή: Τρί Νοέμ 17, 2009 2:22 pm

Re: Υπάρχει ρίζα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nikoszan » Παρ Σεπ 30, 2011 2:19 am

Μετα την ωραια λυση του Βασιλη ,προτεινω ν.δ.ο. η f εχει συνολο τιμων το R.
N.Z.


socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5799
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Υπάρχει ρίζα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Παρ Σεπ 30, 2011 2:33 am

nikoszan έγραψε:Μετα την ωραια λυση του Βασιλη ,προτεινω ν.δ.ο. η f εχει συνολο τιμων το R.
N.Z.
Ενδιαφέρον.

Επαγωγικά μπορούμε να δείξουμε f(12n)=f(0)+12n, \ \forall n \in \mathbb{Z}.

Λόγω συνέχειας, κάθε πραγματικός είναι τιμή της f.


Θανάσης Κοντογεώργης
hsiodos
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1235
Εγγραφή: Σάβ Απρ 18, 2009 1:12 am

Re: Υπάρχει ρίζα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από hsiodos » Δευ Οκτ 03, 2011 3:08 pm

nikoszan έγραψε:Μετα την ωραια λυση του Βασιλη ,προτεινω ν.δ.ο. η f εχει συνολο τιμων το R.
N.Z.
\displaystyle{ 
f(x + 3) + f(x - 1) = f(x + 1) + x\,\,\,\,\,\,(1)\,} για κάθε \displaystyle{x \in R}

Από την (1) θέτοντας διαδοχικά όπου \displaystyle{x} το \displaystyle{x - 3} και το \displaystyle{x - 5\,} παίρνουμε τις σχέσεις

\displaystyle{ 
f(x) + f(x - 4) = f(x - 2) + x - 3\,\,\,\,(2)} και \displaystyle{f(x - 2) + f(x - 6) = f(x - 4) + x - 5\,\,\,(3)} που ισχύουν για κάθε \displaystyle{x \in R}

Με πρόσθεση των (2) και (3) κατά μέλη έχουμε \displaystyle{f(x) + f(x - 6) = 2x - 8\,\,\,\,\,\,(4)} για κάθε \displaystyle{x \in R}

Έστω τώρα \displaystyle{y \in R}

\displaystyle{(4)\mathop  \Rightarrow \limits^{x = y + 4} f(y + 4) + f(y - 2) = 2y\,}

Αν είναι \displaystyle{f(y + 4) = f(y - 2) = y} τότε το \displaystyle{y} είναι τιμή της συνάρτησης .Διαφορετικά ένας από τους αριθμούς \displaystyle{f(y + 4),f(y - 2)} είναι μεγαλύτερος του \displaystyle{y} . Χωρίς βλάβη θεωρούμε \displaystyle{f(y + 4) > y}

\displaystyle{(4)\mathop  \Rightarrow \limits^{x = y + 3} f(y + 3) + f(y - 3) = 2y - 2 < 2y} οπότε ένας τουλάχιστον από τους αριθμούς \displaystyle{f(y + 3),f(y - 3)} είναι μικρότερος του \displaystyle{y} . Χωρίς βλάβη θεωρούμε \displaystyle{ 
f(y - 3) < y}

Η \displaystyle{f} είναι συνεχής στο \displaystyle{\left[ {y - 3,y + 4} \right]} και \displaystyle{f(y - 3) < y < f(y + 4)} οπότε από το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών υπάρχει \displaystyle{ 
a \in \left( {y - 3,y + 4} \right)} με \displaystyle{f(a) = y} . Προκύπτει ότι η \displaystyle{f} έχει σύνολο τιμών το R .

Γιώργος


Γιώργος Ροδόπουλος
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες