Δύο οριάκια

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

irakleios
Δημοσιεύσεις: 805
Εγγραφή: Τετ Ιουν 30, 2010 1:20 pm

Δύο οριάκια

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από irakleios » Τετ Οκτ 05, 2011 2:25 pm

Να υπολογισθούν :

A) \lim_{x\rightarrow\\+\infty}{(e^x - x)}


B) \lim_{x\rightarrow\\+\infty}\frac{\sqrt{x-3}}{\sqrt x - 3}


Η.Γ
Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6175
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Δύο οριάκια

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Τετ Οκτ 05, 2011 2:52 pm

irakleios έγραψε:Να υπολογισθούν :

A) \lim_{x\rightarrow\\+\infty}{(e^x - x)}


B) \lim_{x\rightarrow\\+\infty}\frac{\sqrt{x-3}}{\sqrt x - 3}
α)

Για αρκετά μεγάλο \displaystyle{x} (π.χ. \displaystyle{x>2}) είναι \displaystyle{e^x>2x,} (εύκολο)
άρα είναι τότε, \displaystyle{e^x-x>x}, οπότε

\displaystyle{0<\frac{1}{e^x-x}<\frac{1}{x}.} Από το κριτήριο παρεμβολής προκύπτει \displaystyle{\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{e^x-x}=0^+,} άρα \displaystyle{\lim_{x\to +\infty}(e^x-x)=+\infty.}

β) Εύκολα βλέπουμε, ότι για μεγάλο \displaystyle{x} είναι

\displaystyle{1<\frac{\sqrt{x-3}}{\sqrt{x}-3}\leq \frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-3}=\frac{1+\frac{3}{\sqrt{x}}}{1-\frac{3}{\sqrt{x}}}}

και από το κριτήριο παρεμβολής, το ζητούμενο όριο ισούται με \displaystyle{1.}


Μάγκος Θάνος
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11549
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Δύο οριάκια

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Οκτ 05, 2011 4:37 pm

irakleios έγραψε:Να υπολογισθούν :

A) \lim_{x\rightarrow\\+\infty}{(e^x - x)}


B) \displaystyle \lim_{x\rightarrow\\+\infty}\frac{\sqrt{x-3}}{\sqrt x - 3}
Αλλιώς:

Α) Με l' Hospital βρίσκουμε ότι \displaystyle \lim_{x\rightarrow\\+\infty}{\frac {e^x - x}{x} }= \infty.
Άρα \displaystyle \lim_{x\rightarrow\\+\infty}{(e^x - x)}= \lim_{x\rightarrow\\+\infty}{\frac {e^x - x}{x} \cdot x = \infty (ως άπειρο επί άπειρο)

Β) \displaystyle \lim_{x\rightarrow\\+\infty}\frac{\sqrt{x-3}}{\sqrt x - 3}= \lim_{x\rightarrow\\+\infty}\frac{\sqrt{1-\frac {3}{\sqrt x}}}{1 - \frac {3}{\sqrt x}}   =\frac{\sqrt{1-0}}{1 -0}=1

Φιλικά,

Μιχάλης


Νίκος Ζαφειρόπουλος
Δημοσιεύσεις: 289
Εγγραφή: Κυρ Απρ 12, 2009 1:06 am
Τοποθεσία: ΖΑΚΥΝΘΟΣ
Επικοινωνία:

Re: Δύο οριάκια

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Νίκος Ζαφειρόπουλος » Τετ Οκτ 05, 2011 4:38 pm

α) \displaystyle{\lim_{x\to + \infty } (e^x(1-\frac{x}{e^x}))=+\infty} ,γιατί

\displaystyle{\lim_{x\to + \infty } e^x=+\infty} και

\displaystyle{\lim_{x\to + \infty } (\frac{x}{e^x})=\lim_{x\to + \infty } (\frac{1}{e^x})=0},

\displaystyle{\lim_{x\to + \infty } ((1-\frac{x}{e^x}))=1}

β)\displaystyle{\lim_{x\to + \infty } (\frac{\sqrt{x-3}}{\sqrt{x}-3})=\lim_{x\to + \infty } \frac{\sqrt{x}\sqrt{1-\frac{3}{x}}}{\sqrt{x}(1-\frac{3}{\sqrt{x}})}=1


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης