Για να δούμε !

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10932
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Για να δούμε !

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Οκτ 05, 2011 3:27 pm

Δίνεται η συνάρτηση : f(x)=\sqrt{x+\sqrt{2x-1}}+\sqrt{x-\sqrt{2x-1}}

1) Βρείτε το πεδίο ορισμού της

2) Βρείτε το \displaystyle f(\frac{\pi }{4})

3) Λύστε την εξίσωση : \displaystyle f(x)=\frac{e }{2}


Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6174
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Για να δούμε !

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Τετ Οκτ 05, 2011 3:48 pm

1) Λαμβάνοντας υπόψιν ότι για όλα τα \displaystyle{x\in A=\Big[\frac{1}{2},+\infty\Big)} ισχύει

\displaystyle{0\leq (\sqrt{2x-1}+1)^2=2(x+\sqrt{2x-1}),}

\displaystyle{0\leq (\sqrt{2x-1}-1)^2=2(x-\sqrt{2x-1})}

είναι

\displaystyle{f(x)=\frac{1}{\sqrt{2}}\Big(|\sqrt{2x-1}+1|+|\sqrt{2x-1}-1|\Big)} με \displaystyle{D_f=A.}

2)

Είναι \displaystyle{f\Big(\frac{\pi}{4}\Big)=\frac{1}{\sqrt{2}}\Big(|\sqrt{\frac{\pi}{2}-1}+1|+|\sqrt{\frac{\pi}{2}-1}-1|\Big)=\frac{1}{\sqrt{2}}(a+1+1-a)=\sqrt{2},} όπου \displaystyle{a=\sqrt{\frac{\pi}{2}-1}\in (0,1).}

3)

Είναι

\displaystyle{\sqrt{2}f(x)\geq |\sqrt{2x-1}+1-(\sqrt{2x-1}-1)|=2,} άρα \displaystyle{f(x)\geq \sqrt{2}} για κάθε \displaystyle{x\in A.}

Άρα, η εν λόγω εξίσωση είναι αδύνατη, αφού \displaystyle{\sqrt{2}>\frac{e}{2}.}


Μάγκος Θάνος
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Απόκης
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 5092
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
Τοποθεσία: Πάτρα
Επικοινωνία:

Re: Για να δούμε !

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Απόκης » Τετ Οκτ 05, 2011 4:27 pm

Με πρόλαβαν στη λύση :D απλά παίζοντας με τη γραφική παράσταση, είδα τα εξής περίεργα:

(Στο Σχήμα 1) Φαινόταν η συνάρτηση να είναι σταθερή στο [\frac{1}{2},1] κι έτσι έκανα ξεχωριστά στα [\frac{1}{2},1] (Σχήμα 3) και [1,4] (Σχήμα 2)!

Περιμένω σχόλια για το σχήμα 3...
Συνημμένα
ola.png
ola.png (35.69 KiB) Προβλήθηκε 404 φορές


Γιώργος
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10932
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Για να δούμε !

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Οκτ 05, 2011 8:37 pm

Μερικά σχόλια . Το Π.Ο. είναι το : \displaystyle [\frac{1}{2}, +\infty) και ακόμα f(x)\geq0 . Με λίγες πράξεις διαπιστώνω ότι :

f^{2}(x)=2(x+\left|x-1 \right|) . Παρατηρώ ότι για x\leq1 , είναι \displaystyle f^{2}(x)=2\Rightarrow f(x)=\sqrt{2}, \forall x\in\left[\frac{1}{2} , 1\right]

Για x>1 είναι f(x)=\sqrt{4x-2} , προφανώς γνησίως αύξουσα .

Τα ερωτήματα 2) και 3) τώρα γίνονται παιγνίδι , αφού \displaystyle \frac{\pi }{4}\in\left[\frac{1}{2} , 1 \right] ,

και η ελάχιστη τιμή της f , είναι το \sqrt{2} , ενώ \displaystyle \frac{e}{2}<{\sqrt{2}} , (η εξίσωση αδύνατη)

Όσο για τα περίεργα του σχήματος του Γιώργου , πιθανότατα είναι αστοχίες του χρησιμοποιούμενου προγράμματος !


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Απόκης
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 5092
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
Τοποθεσία: Πάτρα
Επικοινωνία:

Re: Για να δούμε !

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Απόκης » Τετ Οκτ 05, 2011 9:22 pm

KARKAR έγραψε:
Όσο για τα περίεργα του σχήματος του Γιώργου , πιθανότατα είναι αστοχίες του χρησιμοποιούμενου προγράμματος !
Αυτό ακριβώς συμβαίνει Θανάση! Το Σχήμα 1 και το 2 είναι σωστά, στο 3 "αστόχησε" ο Wolfram ! :D


Γιώργος
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες