1-1 και σύνολο τιμών

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

s.kap
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2455
Εγγραφή: Τρί Δεκ 08, 2009 6:11 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

1-1 και σύνολο τιμών

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από s.kap » Τετ Οκτ 05, 2011 10:17 pm

Έστω f: \mathbb{R}^* \to \mathbb{R}^* συνάρτηση με τις ιδιότητες f(xy)=f(x)f(y) , \ \forall x,y \in \mathbb{R}^*

και f(x) \neq x \, \forall x \in \mathbb{R}^* \setminus \{1\} και η συνάρτηση g :\mathbb{R}^* \to \mathbb{R}^*

με g(x)=\frac {f(x)}{x}. Να δειχθεί ότι

α) Η g είναι 1-1

β) g(\mathbb{R}^*)=\mathbb{R}^* \Leftrightarrow για κάθε y \in \mathbb{R}^* υπάρχει x \in \mathbb{R}^* ώστε f(xy)=\left(f \circ f \right)(x)


Σπύρος Καπελλίδης
KAKABASBASILEIOS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1508
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: 1-1 και σύνολο τιμών

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Πέμ Οκτ 06, 2011 1:53 am

Καλησπέρα :logo: μιά προσέγγιση στο θέμα του Σπύρου...όχι ολοκληρωμένη ως προς το αντίστροφο του (β)

α) Αν {{x}_{1}},\,{{x}_{2}}\in {{R}^{*}} ώστε g({{x}_{1}})=g({{x}_{2}}) τότε και \frac{f({{x}_{1}})}{{{x}_{1}}}=\frac{f({{x}_{2}})}{{{x}_{2}}} τότε \frac{f({{x}_{1}})}{f({{x}_{2}})}=\frac{{{x}_{1}}}{{{x}_{2}}}(1) και επειδή f({{x}_{1}})=f(\frac{{{x}_{1}}}{{{x}_{2}}}{{x}_{2}})=f(\frac{{{x}_{1}}}{{{x}_{2}}})f({{x}_{2}}) (λόγω υπόθεσης) ισχύει και f(\frac{{{x}_{1}}}{{{x}_{2}}})=\frac{f({{x}_{1}})}{f({{x}_{2}})} ( αφού f(x)\ne 0,\,\,x\in {{R}^{*}}) επομένως από την (1) θα ισχύει f(\frac{{{x}_{1}}}{{{x}_{2}}})=\frac{{{x}_{1}}}{{{x}_{2}}} δηλαδή ο αριθμός \frac{{{x}_{1}}}{{{x}_{2}}} επαληθεύει την ισότητα f(x)=x και σύμφωνα με την υπόθεση ισχύει μόνο όταν x=1 άρα \frac{{{x}_{1}}}{{{x}_{2}}}=1\Leftrightarrow {{x}_{1}}={{x}_{2}} που σημαίνει ότι η g είναι 1-1

β) Αν g({{R}^{*}})={{R}^{*}} τότε για κάθε y\in {{R}^{*}} υπάρχει x\in {{R}^{*}} ώστε g(x)=y οπότε και \frac{f(x)}{x}=y\Leftrightarrow f(x)=xy επομένως και f(f(x))=f(xy)
Αντίστροφα τώρα αν για για κάθε y\in {{R}^{*}} υπάρχει x\in {{R}^{*}} ώστε f(f(x))=f(xy) αρκεί να δείξουμε ότι η εξίσωση g(x)=y έχει λύση δηλαδή υπάρχει {{x}_{0}}\in {{R}^{*}} ώστε g({{x}_{0}})=y.
Έτσι για το y\in {{R}^{*}} υπάρχει {{x}_{0}}\in {{R}^{*}} ώστε f(f({{x}_{0}}))=f({{x}_{0}}y) και επειδή f({{x}_{0}})={{x}_{0}}g({{x}_{0}}) θα ισχύει f({{x}_{0}}g({{x}_{0}}))=f({{x}_{0}}y) ή f({{x}_{0}})f(g({{x}_{0}}))=f({{x}_{0}})f(y) (λόγω υπόθεσης) και αφού f({{x}_{0}})\ne 0 ισχύει f(g({{x}_{0}}))=f(y)(2)
Τώρα για την συνάρτηση fδεν μπορώ να δείξω ότι είναι 1-1…..
Επίσης από f(f({{x}_{0}}))=f({{x}_{0}})f(y)\Leftrightarrow \frac{f(f({{x}_{0}})}{f({{x}_{0}})}=f(y)\Leftrightarrow g(f({{x}_{0}}))=f(y) η εξίσωση g(x)=f(y) έχει λύση αλλά δεν γνωρίζουμε αν το σύνολο τιμών της f είναι το {{R}^{*}}….πιστεύω κάποιος συνάδελφος να έχει κάποια ιδέα αν βοήθησα με τις σκέψεις μου…

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5799
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: 1-1 και σύνολο τιμών

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Πέμ Οκτ 06, 2011 3:05 am

α)
Για x,y=1 είναι f(1)=1. Έτσι, f(x)=x\iff x=1 \ (^*).

Επίσης, για \displaystyle x:=\frac{x}{y} είναι \displaystyle f\left(\frac{x}{y}\right)=\frac{f(x)}{f(y)}.

Αν πάρουμε x_1,x_2\ne 0 τέτοια ώστε g(x_1)=g(x_2) τότε \displaystyle \frac{f(x_1)}{f(x_2)}=\frac{x_1}{x_2} \implies f\left(\frac{x_1}{x_2}\right)=\frac{x_1}{x_2}\implies \frac{x_1}{x_2}=1 \implies x_1=x_2, λόγω της (^*).

β)
\Longrightarrow
Αν g(\mathbb{R}^*)=\mathbb{R}^* τότε για κάθε y\ne 0 υπάρχει x_0 ώστε \displaystyle \frac{f(x_0)}{x_0}=y\implies f(x_0)=x_0y \implies f(x_0y)=f\circ f(x_0).

\Longleftarrow
Έστω y\in \mathbb{R}^*. Υπάρχει x_0 ώστε f(x_0y)=f(f(x_0)) \ (^{**}).

Αν πάρουμε \displaystyle a=\frac{f(x_0)}{y}, είναι \displaystyle g(a)=\frac{f(a)}{a}=\frac{f\left(\frac{f(x_0)}{y}\right)}{\frac{f(x_0)}{y}}=\frac{\frac{f(f(x_0))}{f(y)}}{\frac{f(x_0)}{y}}=\frac{yf(f(x_0))}{f(x_0)f(y)}=\frac{yf(x_0y)}{f(x_0)f(y)} \overset{(^{**})}{=}y


Θανάσης Κοντογεώργης
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης