Σελίδα 1 από 1

Θέλει τρόπο , όχι κόπο !

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Οκτ 06, 2011 11:00 am
από irakleios
Να υπολγισθεί , χωρίς χρήση L' Hospital , το όριο

\displaystyle\lim_{x \to 7}\frac{\sqrt{x+2}-\sqrt[3]{x+20}}{\sqrt[4]{x+9}-2}

Re: Θέλει τρόπο , όχι κόπο !

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Οκτ 06, 2011 11:37 am
από Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Για x κοντά στο 7 έχουμε ότι:

\displaystyle{\lim_{x \to 7}\frac{\sqrt{x+2}-\sqrt[3]{x+20}}{\sqrt[4]{x+9}-2}=}

\displaystyle {= \lim_{x \to 7}\frac{\sqrt{x+2}-3+3-\sqrt[3]{x+20}}{\sqrt[4]{x+9}-2}=}

\displaystyle {= \lim_{x \to 7}\left (\frac{\sqrt{x+2}-3}{\sqrt[4]{x+9}-2} -\frac{\sqrt[3]{x+20}-3}{\sqrt[4]{x+9}-2}\right )=}

\displaystyle {= \lim_{x \to 7} \left[\frac{(x+2-9)(\sqrt[4]{x+9}+2)}{(\sqrt{x+2}+3)(\sqrt{x+9}-4)} -\frac{(x+20-27)(\sqrt[4]{x+9}+2)}{(\sqrt[3]{x+20}^2+3\sqrt[3]{x+20}+9)(\sqrt{x+9}-4)}  \right ]= }

\displaystyle {= \lim_{x \to 7} \left[\frac{(x-7)(\sqrt[4]{x+9}+2)(\sqrt{x+9}+4)}{(\sqrt{x+2}+3)(x+9-16)} -\frac{(x+20-27)(\sqrt[4]{x+9}+2)(\sqrt{x+9}+4)}{(\sqrt[3]{x+20}^2+3\sqrt[3]{x+20}+9)(x+9-16)}  \right ]= }

\displaystyle {= \lim_{x \to 7} \left[\frac{(\sqrt[4]{x+9}+2)(\sqrt{x+9}+4)}{(\sqrt{x+2}+3)} -\frac{(\sqrt[4]{x+9}+2)(\sqrt{x+9}+4)}{(\sqrt[3]{x+20}^2+3\sqrt[3]{x+20}+9)}  \right ]= }

\displaystyle {= \lim_{x \to 7} \left(\frac{4 \cdot 8 }{6} -\frac{4 \cdot 8}{27}  \right )= \frac{112}{27}}.

Και κόπο έχει πάντως...
:mrgreen:

Re: Θέλει τρόπο , όχι κόπο !

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Οκτ 06, 2011 11:46 am
από Χρήστος Λαζαρίδης
irakleios έγραψε:Να υπολγισθεί , χωρίς χρήση L' Hospital , το όριο

\displaystyle\lim_{x \to 7}\frac{\sqrt{x+2}-\sqrt[3]{x+20}}{\sqrt[4]{x+9}-2}
Ο αριθμητής γίνεται:
\displaystyle\sqrt{x+2}-3+3-\sqrt[3]{x+20}=\frac{x-7}{\sqrt{x+2}+3}-\frac{x-7}{9+3\sqrt[3]{x+20}+\sqrt[3]{\left(x+20 \right)^{2}} }
Ο παρονομαστής γίνεται:
\displaystyle\frac{x-7}{\left(\sqrt[4]{\left(x+9 \right)^{3}}+2\sqrt[4]{(x+9)^{2}}+4\sqrt[4]{x+9}}\left
Απλοποιούμε το x-7 και το όριο ισούται: \displaystyle\frac{\frac{1}{6}-\frac{1}{9+9+9}}{\frac{1}{8+8+8}}

Φιλικά Χρήστος

Μιλάμε για πολύ κόπο όπως παρατήρησε ο ταχύτατος Λευτέρης.

Re: Θέλει τρόπο , όχι κόπο !

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Οκτ 06, 2011 11:50 am
από Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Mε "άμεσες" συζυγείς παραστάσεις, θα λέγαμε:

Για x κοντά στο 7 έχουμε ότι:

\displaystyle{\lim_{x \to 7}\frac{\sqrt{x+2}-\sqrt[3]{x+20}}{\sqrt[4]{x+9}-2}=}

\displaystyle{=\lim_{x \to 7}\frac{((x+2)^3-(x+20)^2)(\sqrt[4]{x+9}^3+2\sqrt[4]{x+9}^2+4\sqrt[4]{x+9}+8)}{(\sqrt{x+2}^5+\sqrt{x+2}^4\sqrt[3]{x+20}+\sqrt{x+2}^3\sqrt[3]{x+20}^2+\sqrt{x+2}^2\sqrt[3]{x+20}^3+\sqrt{x+2}\sqrt[3]{x+20}^4+\sqrt[3]{x+20}^5)(x+9-2^4)}=}

\displaystyle{=\lim_{x \to 7}\frac{(x-7)(x^2+12x+56)(\sqrt[4]{x+9}^3+2\sqrt[4]{x+9}^2+4\sqrt[4]{x+9}+8)}{(\sqrt{x+2}^5+\sqrt{x+2}^4\sqrt[3]{x+20}+\sqrt{x+2}^3\sqrt[3]{x+20}^2+\sqrt{x+2}^2\sqrt[3]{x+20}^3+\sqrt{x+2}\sqrt[3]{x+20}^4+\sqrt[3]{x+20}^5)(x-7)}=}

\displaystyle{=\lim_{x \to 7}\frac{(x^2+12x+56)(\sqrt[4]{x+9}^3+2\sqrt[4]{x+9}^2+4\sqrt[4]{x+9}+8)}{(\sqrt{x+2}^5+\sqrt{x+2}^4\sqrt[3]{x+20}+\sqrt{x+2}^3\sqrt[3]{x+20}^2+\sqrt{x+2}^2\sqrt[3]{x+20}^3+\sqrt{x+2}\sqrt[3]{x+20}^4+\sqrt[3]{x+20}^5)}=}

\displaystyle{=\frac{189 \cdot 32}{5 \cdot 243}=\frac{112}{27}}.