ΟΡΙΑ

margk · #1

Αν $f(x),g(x)\geq 1$ για κάθε $x\epsilon R$ και $\lim_{x\rightarrow x_{o}}[f^{3}(x)+g^{3}(x)]=2$
βρείτε τα όρια $\lim_{x\rightarrow x_{o}}f(x)$ και $\lim_{x\rightarrow x_{o}}g(x)$

#2

Καλημέρα

μια προσπάθεια στο ενδιαφέρον θέμα margk...

Ισχύει $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,({{f}^{3}}(x)-1+{{g}^{3}}(x)-1)=0$ και αν
$h(x)={{f}^{3}}(x)-1+{{g}^{3}}(x)-1=(f(x)-1)({{f}^{2}}(x)+f(x)+1)+(g(x)-1)({{g}^{2}}(x)+g(x)+1)$

είναι

$\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,h(x)=0$ και επειδή $f(x)\ge 1,\,g(x)\ge 1$ και ${{f}^{2}}(x)+f(x)+1>0$ και ${{g}^{2}}(x)+g(x)+1>0$ θα ισχύει

$0\le (f(x)-1)({{f}^{2}}(x)+f(x)+1)\le h(x)$ ή $0\le f(x)-1\le \frac{h(x)}{{{f}^{2}}(x)+f(x)+1}=\frac{h(x)}{{{(f(x)+\frac{1}{2})}^{2}}+\frac{3}{4}}\le \frac{h(x)}{\frac{3}{4}}=\frac{4}{3}h(x)$ δηλαδή

$0\le f(x)-1\le \frac{4}{3}h(x)$ και σύμφωνα με το κριτήριο παρεμβολής θα είναι $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,(f(x)-1)=0$ ή $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=1$

όμοια και $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,g(x)=1$

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

ΟΡΙΑ

ΟΡΙΑ

Re: ΟΡΙΑ

Μέλη σε σύνδεση