Τριγωνομετρικά όρια

Χρήστος Λαζαρίδης · #1

Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια:

α) $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\propto }\eta\mu x\eta \mu \left(\frac{1}{x} \right)}$

β) $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -\propto }\left(\sigma \upsilon \nu x-1 \right)\eta \mu \left(\frac{1}{x} \right)}$

ΦΙλικά Χρήστος

#2

Χρήστος Λαζαρίδης έγραψε:Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια:

α) $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\propto }\eta\mu x\eta \mu \left(\frac{1}{x} \right)}$

β) $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -\propto }\left(\sigma \upsilon \nu x-1 \right)\eta \mu \left(\frac{1}{x} \right)}$

ΦΙλικά Χρήστος

α) $\displaystyle{ \left| {\eta \mu x\eta \mu \left( {\frac{1} {x}} \right)} \right| = \left| {\eta \mu x} \right| \cdot \left| {\eta \mu \left( {\frac{1} {x}} \right)} \right|\mathop \Rightarrow \limits^{0 \leqslant \left| {\eta \mu x} \right| \leqslant 1} \left| {\eta \mu x\eta \mu \left( {\frac{1} {x}} \right)} \right| \leqslant \left| {\eta \mu \left( {\frac{1} {x}} \right)} \right| }$

$\displaystyle{ \Leftrightarrow \boxed{ - \left| {\eta \mu \left( {\frac{1} {x}} \right)} \right| \leqslant \eta \mu x\eta \mu \left( {\frac{1} {x}} \right) \leqslant \left| {\eta \mu \left( {\frac{1} {x}} \right)} \right|}:\left( 1 \right) }$ και

$\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \eta \mu \left( {\frac{1} {x}} \right)\mathop = \limits^{u = \frac{1} {x} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } u = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1} {x} = 0} \mathop {\lim }\limits_{u \to 0} \eta \mu u = 0 \Rightarrow }$

$\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left| {\eta \mu \left( {\frac{1} {x}} \right)} \right| = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( { - \left| {\eta \mu \left( {\frac{1} {x}} \right)} \right|} \right) = 0 }$

$\displaystyle{ \mathop \Rightarrow \limits^{\left( 1 \right):{\rm K}\rho \iota \tau \rho \iota o - \Pi \alpha \rho \varepsilon \mu \beta o\lambda \varsigma } \boxed{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\eta \mu x\eta \mu \left( {\frac{1} {x}} \right)} \right) = 0} }$

β) $\displaystyle{ \left| {\left( {\sigma \upsilon \nu x - 1} \right) \cdot \eta \mu \left( {\frac{1} {x}} \right)} \right| = \left| {\sigma \upsilon \nu x - 1} \right| \cdot \left| {\eta \mu \left( {\frac{1} {x}} \right)} \right| }$

$\displaystyle{ \mathop \Rightarrow \limits^{\left| {\sigma \upsilon \nu x - 1} \right| \leqslant \left| {\sigma \upsilon \nu x} \right| + 1\mathop \Rightarrow \limits^{0 \leqslant \left| {\sigma \upsilon \nu x} \right| \leqslant 1} \left| {\sigma \upsilon \nu x - 1} \right| \leqslant 2} \left| {\left( {\sigma \upsilon \nu x - 1} \right) \cdot \eta \mu \left( {\frac{1} {x}} \right)} \right| \leqslant 2\left| {\eta \mu \left( {\frac{1} {x}} \right)} \right| \Rightarrow }$

$\displaystyle{ \boxed{ - 2\left| {\eta \mu \left( {\frac{1} {x}} \right)} \right| \leqslant \left( {\sigma \upsilon \nu x - 1} \right) \cdot \eta \mu \left( {\frac{1} {x}} \right) \leqslant 2\left| {\eta \mu \left( {\frac{1} {x}} \right)} \right|}:\left( 2 \right) }$ και

$\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \eta \mu \left( {\frac{1} {x}} \right)\mathop = \limits^{u = \frac{1} {x} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } u = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{1} {x} = 0} \mathop {\lim }\limits_{u \to 0} \eta \mu u = 0 \Rightarrow }$

$\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {2\left| {\eta \mu \left( {\frac{1} {x}} \right)} \right|} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( { - 2\left| {\eta \mu \left( {\frac{1} {x}} \right)} \right|} \right) = 0 }$

$\displaystyle{ \mathop \Rightarrow \limits^{\left( 2 \right):{\rm K}\rho \iota \tau \rho \iota o - \Pi \alpha \rho \varepsilon \mu \beta o\lambda \varsigma } \boxed{\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\left( {\sigma \upsilon \nu x - 1} \right) \cdot \eta \mu \left( {\frac{1} {x}} \right)} \right) = 0} }$
Στάθης

Χρήστος Λαζαρίδης · #3

Χρήστος Λαζαρίδης έγραψε:Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια:

α) $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\propto }\eta\mu x\eta \mu \left(\frac{1}{x} \right)}$

β) $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -\propto }\left(\sigma \upsilon \nu x-1 \right)\eta \mu \left(\frac{1}{x} \right)}$

ΦΙλικά Χρήστος

Μετά την υποδειγματική λύση του Στάθη, μία άλλη λύση, για το α.

Θα χρησιμοποιήσουμε τα παρακάτω όρια

$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\propto }\frac{\eta \mu x}{x}=0}$
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\propto }x\eta \mu \frac{1}{x}=1}$

α) $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\propto }\eta\mu x\eta \mu \left(\frac{1}{x} \right)}$ = $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\propto }\frac{\eta \mu x}{x}x\eta \mu \frac{1}{x}=0.1=0}$

Φιλικά Χρήστος

#4

και όμοια το β)

Τριγωνομετρικά όρια

Τριγωνομετρικά όρια

Re: Τριγωνομετρικά όρια

Re: Τριγωνομετρικά όρια

Re: Τριγωνομετρικά όρια

Μέλη σε σύνδεση