Τριγωνομετρικά όρια

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
Χρήστος Λαζαρίδης
Δημοσιεύσεις: 656
Εγγραφή: Παρ Ιαν 09, 2009 10:48 am
Τοποθεσία: Παλαιό Φάληρο
Επικοινωνία:

Τριγωνομετρικά όρια

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Χρήστος Λαζαρίδης » Παρ Οκτ 07, 2011 10:49 pm

Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια:

α) \displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\propto }\eta\mu x\eta \mu \left(\frac{1}{x}  \right)}

β) \displaystyle{\lim_{x\rightarrow -\propto }\left(\sigma \upsilon \nu x-1 \right)\eta \mu \left(\frac{1}{x} \right)}

ΦΙλικά Χρήστος


Ο ηλίθιος είναι αήττητος
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3961
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Τριγωνομετρικά όρια

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Παρ Οκτ 07, 2011 11:03 pm

Χρήστος Λαζαρίδης έγραψε:Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια:

α) \displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\propto }\eta\mu x\eta \mu \left(\frac{1}{x}  \right)}

β) \displaystyle{\lim_{x\rightarrow -\propto }\left(\sigma \upsilon \nu x-1 \right)\eta \mu \left(\frac{1}{x} \right)}

ΦΙλικά Χρήστος
α) \displaystyle{ 
\left| {\eta \mu x\eta \mu \left( {\frac{1} 
{x}} \right)} \right| = \left| {\eta \mu x} \right| \cdot \left| {\eta \mu \left( {\frac{1} 
{x}} \right)} \right|\mathop  \Rightarrow \limits^{0 \leqslant \left| {\eta \mu x} \right| \leqslant 1} \left| {\eta \mu x\eta \mu \left( {\frac{1} 
{x}} \right)} \right| \leqslant \left| {\eta \mu \left( {\frac{1} 
{x}} \right)} \right| 
}

\displaystyle{ 
 \Leftrightarrow \boxed{ - \left| {\eta \mu \left( {\frac{1} 
{x}} \right)} \right| \leqslant \eta \mu x\eta \mu \left( {\frac{1} 
{x}} \right) \leqslant \left| {\eta \mu \left( {\frac{1} 
{x}} \right)} \right|}:\left( 1 \right) 
} και

\displaystyle{ 
\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \eta \mu \left( {\frac{1} 
{x}} \right)\mathop  = \limits^{u = \frac{1} 
{x} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } u = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{1} 
{x} = 0} \mathop {\lim }\limits_{u \to 0} \eta \mu u = 0 \Rightarrow  
}

\displaystyle{ 
\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left| {\eta \mu \left( {\frac{1} 
{x}} \right)} \right| = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( { - \left| {\eta \mu \left( {\frac{1} 
{x}} \right)} \right|} \right) = 0 
}

\displaystyle{ 
\mathop  \Rightarrow \limits^{\left( 1 \right):{\rm K}\rho \iota \tau \rho \iota o - \Pi \alpha \rho \varepsilon \mu \beta o\lambda \varsigma } \boxed{\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {\eta \mu x\eta \mu \left( {\frac{1} 
{x}} \right)} \right) = 0} 
}

β) \displaystyle{ 
\left| {\left( {\sigma \upsilon \nu x - 1} \right) \cdot \eta \mu \left( {\frac{1} 
{x}} \right)} \right| = \left| {\sigma \upsilon \nu x - 1} \right| \cdot \left| {\eta \mu \left( {\frac{1} 
{x}} \right)} \right| 
}

\displaystyle{ 
\mathop  \Rightarrow \limits^{\left| {\sigma \upsilon \nu x - 1} \right| \leqslant \left| {\sigma \upsilon \nu x} \right| + 1\mathop  \Rightarrow \limits^{0 \leqslant \left| {\sigma \upsilon \nu x} \right| \leqslant 1} \left| {\sigma \upsilon \nu x - 1} \right| \leqslant 2} \left| {\left( {\sigma \upsilon \nu x - 1} \right) \cdot \eta \mu \left( {\frac{1} 
{x}} \right)} \right| \leqslant 2\left| {\eta \mu \left( {\frac{1} 
{x}} \right)} \right| \Rightarrow  
}

\displaystyle{ 
\boxed{ - 2\left| {\eta \mu \left( {\frac{1} 
{x}} \right)} \right| \leqslant \left( {\sigma \upsilon \nu x - 1} \right) \cdot \eta \mu \left( {\frac{1} 
{x}} \right) \leqslant 2\left| {\eta \mu \left( {\frac{1} 
{x}} \right)} \right|}:\left( 2 \right) 
} και

\displaystyle{ 
\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \eta \mu \left( {\frac{1} 
{x}} \right)\mathop  = \limits^{u = \frac{1} 
{x} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } u = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{1} 
{x} = 0} \mathop {\lim }\limits_{u \to 0} \eta \mu u = 0 \Rightarrow  
}

\displaystyle{ 
\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {2\left| {\eta \mu \left( {\frac{1} 
{x}} \right)} \right|} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( { - 2\left| {\eta \mu \left( {\frac{1} 
{x}} \right)} \right|} \right) = 0 
}

\displaystyle{ 
\mathop  \Rightarrow \limits^{\left( 2 \right):{\rm K}\rho \iota \tau \rho \iota o - \Pi \alpha \rho \varepsilon \mu \beta o\lambda \varsigma } \boxed{\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {\left( {\sigma \upsilon \nu x - 1} \right) \cdot \eta \mu \left( {\frac{1} 
{x}} \right)} \right) = 0} 
}
Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
Χρήστος Λαζαρίδης
Δημοσιεύσεις: 656
Εγγραφή: Παρ Ιαν 09, 2009 10:48 am
Τοποθεσία: Παλαιό Φάληρο
Επικοινωνία:

Re: Τριγωνομετρικά όρια

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Χρήστος Λαζαρίδης » Σάβ Οκτ 08, 2011 12:20 am

Χρήστος Λαζαρίδης έγραψε:Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια:

α) \displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\propto }\eta\mu x\eta \mu \left(\frac{1}{x}  \right)}

β) \displaystyle{\lim_{x\rightarrow -\propto }\left(\sigma \upsilon \nu x-1 \right)\eta \mu \left(\frac{1}{x} \right)}

ΦΙλικά Χρήστος
Μετά την υποδειγματική λύση του Στάθη, μία άλλη λύση, για το α.

Θα χρησιμοποιήσουμε τα παρακάτω όρια

\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\propto }\frac{\eta \mu x}{x}=0}
\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\propto }x\eta \mu \frac{1}{x}=1}

α) \displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\propto }\eta\mu x\eta \mu \left(\frac{1}{x}  \right)}=\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\propto }\frac{\eta \mu x}{x}x\eta \mu \frac{1}{x}=0.1=0}


Φιλικά Χρήστος


Ο ηλίθιος είναι αήττητος
xr.tsif
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1958
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 7:14 pm

Re: Τριγωνομετρικά όρια

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από xr.tsif » Σάβ Οκτ 08, 2011 12:40 am

και όμοια το β)


Γιατί πάντα αριθμόν έχοντι. Άνευ τούτου ουδέν νοητόν και γνωστόν.
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες