Άσκηση

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5799
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Άσκηση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Σάβ Οκτ 08, 2011 4:48 pm

Έστω \displaystyle{f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}} συνεχής συνάρτηση, τέτοια ώστε \displaystyle{f(f(x))=f(x)-\frac{1}{4}x+1,\ \forall x \in \mathbb{R}.}

α) Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία.

β) Να δείξετε ότι η εξίσωση \displaystyle{f (x) = ax} έχει μια τουλάχιστον πραγματική ρίζα, για κάθε a\geq 1.

γ) Αν \displaystyle{\lim_{x\to \infty}f(f(x))=\infty} και \displaystyle{\lim_{x\to \infty}\frac{f(x)}{x}=L\in \mathbb{R},} να βρείτε το L.


Θανάσης Κοντογεώργης
Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: Άσκηση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Σάβ Οκτ 08, 2011 5:14 pm

Για το α)
Έστω \displaystyle{{x_1},{x_2} \in R} με \displaystyle{f\left( {{x_1}} \right) = f\left( {{x_2}} \right) \Rightarrow f\left( {f\left( {{x_1}} \right)} \right) = f\left( {f\left( {{x_2}} \right)} \right) \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) - \frac{1}{4}{x_1} + 1 = f\left( {{x_2}} \right) - \frac{1}{4}{x_2} + 1 \Rightarrow {x_1} = {x_2}}
Συμπεραίνουμε ότι η συνάρτηση \displaystyle{f} είναι \displaystyle{1 - 1} και ως συνεχής στο \displaystyle{R} θα είναι γνησίως μονότονη

Έστω ότι είναι γνησίως φθίνουσα τότε έχουμε δείξει αρκετές φορές ότι \displaystyle{f \circ f, - f} είναι γνησίως αύξουσες συναρτήσεις όπως και το άθροισμα τους, πράγμα άτοπο διότι \displaystyle{\left( {f \circ f} \right)\left( x \right) - f\left( x \right) =  - \frac{1}{4}x + 1} που είναι γνησίως φθίνουσα. Άρα η \displaystyle{f} είναι γνησίως αύξουσα στο \displaystyle{R}

Β)
Για \displaystyle{x = 4} έχουμε \displaystyle{f\left( {f\left( 4 \right)} \right) = f\left( 4 \right) \Leftrightarrow f\left( 4 \right) = 4} διότι η \displaystyle{f} είναι \displaystyle{1 - 1}

Επίσης για \displaystyle{x = 0} έχουμε \displaystyle{f\left( {f\left( 0 \right)} \right) = f\left( 0 \right) + 1 > f\left( 0 \right) \Rightarrow f\left( 0 \right) > 0}
Ορίζουμε την \displaystyle{g\left( x \right) = f\left( x \right) - \alpha x,x \in R} η οποία είναι συνεχής στο \displaystyle{\left[ {0,4} \right]}

και ισχύει \displaystyle{g\left( 0 \right) = f\left( 0 \right) > 0}, \displaystyle{g\left( 4 \right) = f\left( 4 \right) - 4\alpha  = 4\left( {1 - \alpha } \right) \le 0}. Είναι λοιπόν \displaystyle{g\left( 0 \right)g\left( 4 \right) \le 0}
Αν \displaystyle{\alpha  = 1} τότε το \displaystyle{4} είναι προφανής ρίζα και έτσι έχουμε τουλάχιστον μία πραγματική ρίζα της ζητούμενης εξίσωσης

Αν \displaystyle{\alpha  > 1} τότε \displaystyle{g\left( 0 \right)g\left( 4 \right) < 0} και από εφαρμογή του θεωρήματος Bolzano έχουμε την υπάρξη τουλάχιστον μιας ρίζας στο \displaystyle{\left( {0,4} \right) \subset R} της εξίσωσης \displaystyle{g\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) = \alpha x}




γ) \displaystyle{x > 4 \Rightarrow f\left( x \right) > f\left( 4 \right) \Rightarrow f\left( x \right) > 4 \Rightarrow f\left( {f\left( x \right)} \right) > f\left( 4 \right) \Rightarrow f\left( x \right) - \frac{1}{4}x + 1 > 4 \Rightarrow f\left( x \right) > \frac{1}{4}x + 3}

και επειδή υπάρχει το όριο της \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right)} (ως γνήσια αύξουσα) θα είναι
\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) > \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {\frac{1}{4}x + 3} \right) =  + \infty  \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) =  + \infty }



Επίσης για πολύ μεγάλα \displaystyle{x} κοντά στο \displaystyle{ + \infty }

\displaystyle{\frac{{f\left( {f\left( x \right)} \right)}}{{f\left( x \right)}} \cdot \frac{{f\left( x \right)}}{x} - \frac{{f\left( x \right)}}{x} =  - \frac{1}{4} + \frac{1}{x}} (1)

και \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{f\left( {f\left( x \right)} \right)}}{{f\left( x \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{y \to  + \infty } \frac{{f\left( y \right)}}{y} = L}

Οπότε με όρια στην (1) λαμβάνουμε \displaystyle{{L^2} - L =  - \frac{1}{4} \Leftrightarrow {\left( {2L - 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow L = \frac{1}{2}}


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: Άσκηση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Σάβ Οκτ 08, 2011 7:07 pm

Μία τέτοια συνάρτηση είναι η \displaystyle{f\left( x \right) = \frac{1}{2}x + 2}, υπάρχουν άλλες; ;)


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης