Μία καλή επαναληπτική άσκηση

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6821
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Μία καλή επαναληπτική άσκηση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Κυρ Οκτ 09, 2011 10:49 am

Δίνεται η συνεχής στους πραγματικούς συνάρτηση \displaystyle{ 
f 
} και η συνάρτηση \displaystyle{ 
g:R -  > R 
} με:

\displaystyle{ 
g(x) = \frac{1}{{f^2 (x) - e^x }},\forall x \in R 
}
και

\displaystyle{ 
\left| {f(0)} \right| <1 
}

α)Να αποδείξετε ότι; \displaystyle{ 
\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f(x) = 0 
}

β)Να βρείτε το όριο \displaystyle{ 
\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } g(x) 
}

γ)Να αποδείξετε ότι: \displaystyle{ 
g(0) \le  - 1 
}

δ)Να αποδείξετε ότι η εξίσωση
\displaystyle{ 
(x - 1)(e^x  + x)(g(x) + e^x ) = x\left[ {f(x - 1) + x} \right] 
}
έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο διάστημα \displaystyle{ 
[0,1) 
} και μία τουλάχιστον μη θετική ρίζα.
Μπορούμε να ισχυριστούμε με βεβαιότητα ότι η παραπάνω εξίσωση έχει δύο τουλάχιστον ρίζες στο διάστημα \displaystyle{ 
( - \infty ,1) 
} ;

Υ.Γ:Η άσκηση τίθεται για να ασχοληθούν όλοι (συνάδελφοι,μαθητές,ελεύθεροι επαγγελματίες,ελεύθεροι πολιορκημένοι κτλ).
Παρακαλώ πολύ να ασχοληθούν όσοι έχουν την όρεξη να το κάνουν και να προσφέρουν όμορφες ιδέες.Ευχαριστώ εκ των προτέρων.
Καλημέρα σας.


Χρήστος Κυριαζής
s.kap
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2455
Εγγραφή: Τρί Δεκ 08, 2009 6:11 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Μία καλή επαναληπτική άσκηση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από s.kap » Κυρ Οκτ 09, 2011 11:41 am

chris_gatos έγραψε:Δίνεται η συνεχής στους πραγματικούς συνάρτηση \displaystyle{ 
f 
} και η συνάρτηση \displaystyle{ 
g:R -  > R 
} με:

\displaystyle{ 
g(x) = \frac{1}{{f^2 (x) - e^x }},\forall x \in R 
}
και

\displaystyle{ 
\left| {f(0)} \right| <1 
}

α)Να αποδείξετε ότι; \displaystyle{ 
\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f(x) = 0 
}

β)Να βρείτε το όριο \displaystyle{ 
\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } g(x) 
}

γ)Να αποδείξετε ότι: \displaystyle{ 
g(0) \le  - 1 
}

δ)Να αποδείξετε ότι η εξίσωση
\displaystyle{ 
(x - 1)(e^x  + x)(g(x) + e^x ) = x\left[ {f(x - 1) + x} \right] 
}
έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο διάστημα \displaystyle{ 
[0,1) 
} και μία τουλάχιστον μη θετική ρίζα.
Μπορούμε να ισχυριστούμε με βεβαιότητα ότι η παραπάνω εξίσωση έχει δύο τουλάχιστον ρίζες στο διάστημα \displaystyle{ 
( - \infty ,1) 
} ;

Υ.Γ:Η άσκηση τίθεται για να ασχοληθούν όλοι (συνάδελφοι,μαθητές,ελεύθεροι επαγγελματίες,ελεύθεροι πολιορκημένοι κτλ).
Παρακαλώ πολύ να ασχοληθούν όσοι έχουν την όρεξη να το κάνουν και να προσφέρουν όμορφες ιδέες.Ευχαριστώ εκ των προτέρων.
Καλημέρα σας.
Ωραία άσκηση Χρήστο.

Ας κάνω την αρχή απαντώντας σε κάποια ερωτήματα

α) Θεωρώ τη συνάρτηση h(x)=f^2(x)-e^x, x \in \mathbb{R}

Επειδή η g ορίζεται σε ολοκληρο το σύνολο των πραγματικών πρέπει h(x) \neq 0,\ \forall x \in \mathbb{R} και επειδή η h είναι συνεχής

θα έχουμε h(x)>0,\ \forall x \in \mathbb{R} \vee h(x)<0,\ \forall x \in \mathbb{R}.

Λόγω του \displaystyle{ 
\left| {f(0)} \right| <1 
} Θα ισχύει το δεύτερο, άρα \displaystyle{0 \le f^2(x) <e^x,\ \forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow \lim_{x \to -\infty}f^2(x)=0},

γιατί \displaystyle{\lim_{x \to -\infty}0=\lim_{x \to -\infty}e^x=0}, άρα και \displaystyle{\lim_{x \to -\infty}f(x)=0}

β) Έχουμε \displaystyle{\lim_{x \to -\infty}h(x)=0 \wedge h(x)<0,\ \forall x \Rightarrow \lim_{x \to -\infty}g(x)=\lim_{x \to -\infty}\frac {1}{h(x)}=-\infty}


Σπύρος Καπελλίδης
Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6821
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Μία καλή επαναληπτική άσκηση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Δευ Οκτ 10, 2011 9:02 pm

Ευχαριστώ πάρα πολύ Σπύρο για την ενασχόληση.Την επαναφέρω για μία ακόμη φορά.(Βρε επιμονή!!)


Χρήστος Κυριαζής
kostas136
Δημοσιεύσεις: 631
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 6:47 pm
Τοποθεσία: Αθήνα, Ν. Αττικής
Επικοινωνία:

Re: Μία καλή επαναληπτική άσκηση

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kostas136 » Δευ Οκτ 10, 2011 11:05 pm

Μια απόπειρα.Έστω ότι

\displaystyle g(0)>-1\Rightarrow \frac{1}{f^2(0)-1}>-1\Rightarrow \frac{f^2(0)}{f^2(0)-1}>0\Rightarrow f^2(0)-1>0\Rightarrow |f(0)|>1

Άρα, λόγω του άτοπου, \displaystyle g(0)\leq -1

Έστω η συνάρτηση H: R\rightarrow R με H(x)=(x-1)(e^x+x)(g(x)+e^x)-x[f(x-1)+x]

Τότε \displaystyle H(0)=-(g(0)+1)\geq 0 και \displaystyle H(1)=-(f(0)+1)<0

Άρα, αν \displaystyle g(0)=-1\Leftrightarrow H(0)=0, οπότε και μία λύση στο \displaystyle [0,1) είναι το μηδέν.

Αν όμως \displaystyle g(0)<-1\Leftrightarrow H(0)>0 τότε από Bolzano για την συνεχή H(x) στο [0,1] θα υπάρχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (0,1).

Άρα, σίγουρα έχουμε λύση στο [0,1).

Μελετάμε την H(x) στο (-\infty, 0]

\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty}(x-1)=-\infty , \lim_{x\rightarrow -\infty}(e^x+x)=-\infty , \lim_{x\rightarrow -\infty}(g(x)+e^x)=-\infty , \lim_{x\rightarrow -\infty}x=-\infty , \lim_{x\rightarrow -\infty}[f(x-1)+x]=-\infty

Βέβαια, για την δικαιολόγηση του τελευταίου ορίου χρειάζεται αλλαγή μεταβλητής. Άρα:

\displaystyle \displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty}H(x)=-\infty

Άρα \displaystyle \exists x_o<0 : H(x_o)<0

Οπότε για να μην τα ξαναγράφω ή H(0)=0 ή Bolzano για την H(x) στο [x_o,0]

Δεν μπορούμε να ισχυριστούμε την βεβαιότητα για 2 ρίζες διότι ίσως να έχουμε την κοινή στα δύο διαστήματα λύση, το μηδέν.


Life is like a box of chocolates. You never know what you might find inside!
To be the Black Swan, to be perfect!
Κώστας Καπένης
PanosG
Δημοσιεύσεις: 458
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 10, 2009 2:47 pm
Τοποθεσία: Άρτα

Re: Μία καλή επαναληπτική άσκηση

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από PanosG » Δευ Οκτ 10, 2011 11:22 pm

Συνεχίζω από το γ)

Έστω ότι g(0)>-1 τότε αφού g(0)=\frac{1}{f^2(0)-1} έχουμε:

\frac{1}{f^2(0)-1}>-1\Leftrightarrow \frac{1}{f^2(0)-1}+1>0\Leftrightarrow \frac{f^2(0)}{f^2(0)-1}>0\Leftrightarrow f^2(0)<0 άτοπο.
Αφού |f(0)|<1\Leftrightarrow f^2(0)-1<0
Άρα g(0)\leq -1

δ)

Έστω η συνάρτηση p(x)=(x-1)(e^x+x)(g(x)+e^x)-x[f(x-1)+x] συνεχής στο \mathbb{R} με:
p(0)=-(g(0)+1)\geq 0
p(1)=-(f(0)+1)<0 (αφού |f(0)|<1\Leftrightarrow -1<f(0)<1\Leftrightarrow f(0)+1>0)

Άν p(0)=0 τότε η p(x) έχει ρίζα το 0
Άν p(0)>0 τότε απο Bolzano έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (0,1)
Τελικά η p έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο [0,1)

Τώρα επειδή:

\displaystyle{\lim_{x \to -\infty}(x-1)=-\infty}
\displaystyle{\lim_{x \to -\infty}(e^x+x)=-\infty}
\displaystyle{\lim_{x \to -\infty}(g(x)+1)=-\infty}
\displaystyle{\lim_{x \to -\infty}(f(x-1)+x)=0-\infty=-\infty}
έχουμε:
\displaystyle{\lim_{x \to -\infty}p(x)=-\infty} άρα υπάρχει ένα a<0 τέτοιο ώστε p(a)<0
και αφου p(0)\geq0 τότε απο Bolzano η p έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (a,0] δηλαδη μη θετική.

Τώρα φαντάζομαι ότι ο Χρήστος εννοεί ότι αφού έχουμε τουλάχιστον 1 ρίζα στο (-\infty,0] και 1 στο [0,1) δεν μπορούμε να πούμε ότι η p έχει τουλάχιστον δυο ρίζες στο (-\infty, 1) γιατι μπορεί η ρίζα και στα δυο διαστήματα να είναι το μηδέν.

Τώρα είδα ότι η λύση μου είναι ακριβώς ίδια με του Κώστα :oops: . Τζάμπα η πληκτρολόγηση :lol:


Γκριμπαβιώτης Παναγιώτης
Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6821
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Μία καλή επαναληπτική άσκηση

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Τρί Οκτ 11, 2011 7:26 am

Καλημέρα και ευχαριστώ τους Κώστα και Πάνο για την ενασχόληση!
PanosG έγραψε: Τώρα φαντάζομαι ότι ο Χρήστος εννοεί ότι.....
Χμ...Πάλι Χρήστος εννοεί,αλλά όχι εγώ.
Η άσκηση είναι του Χρήστου Πατήλα.


Χρήστος Κυριαζής
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες