Αντιμεταθετικότητα σύνθεσης

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

stranton
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 664
Εγγραφή: Πέμ Ιουν 25, 2009 5:00 pm
Τοποθεσία: Σπάρτη
Επικοινωνία:

Αντιμεταθετικότητα σύνθεσης

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranton » Κυρ Οκτ 09, 2011 8:32 pm

Δίνονται οι συναρτήσεις f(x)=2x^2-1 , x\in[-1,1] και g(x)=4x^3-3x , x\in[-1,1].
Να αποδείξετε ότι g\circ f = f\circ g.


Στράτης Αντωνέας
achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2654
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: Αντιμεταθετικότητα σύνθεσης

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Κυρ Οκτ 09, 2011 9:51 pm

stranton έγραψε:Δίνονται οι συναρτήσεις f(x)=2x^2-1 , x\in[-1,1] και g(x)=4x^3-3x , x\in[-1,1].
Να αποδείξετε ότι g\circ f = f\circ g.
Οι παραπάνω συναρτήσεις αποτελούν πολυώνυμα Chebychev.

Μια "απαγορευμένη" απόδειξη που βασίζεται στις ταυτότητες

\cos 2\beta=2\cos^2\beta-1=f(\cos \beta) (1)

και

\cos 3\alpha=4\cos^3\alpha-3\cos \alpha=g(\cos \alpha) (2).

Έστω x\in [-1,1]. Τότε υπάρχει a\in [0,\pi] τέτοιο ώστε x=\cos a.

Έχουμε

f(g(x))=f(g(\cos a))=f(\cos 3a)=\cos 6a

και

g(f(x))=g(f(\cos a))=g(\cos 2a)=\cos 6a.

Άρα για κάθε x\in [-1,1] ισχύει g(f(x))=f(g(x)) και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

(Παρατήρηση: Γίνεται επίσης φανερό ότι g([-1,1])\subseteq [-1,1] και f([-1,1])\subseteq [-1,1] οπότε οι δυο συνθέσεις ορίζονται στο [-1,1]).

Φιλικά,

Αχιλλέας


Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6174
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Αντιμεταθετικότητα σύνθεσης

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Κυρ Οκτ 09, 2011 9:57 pm

Και ας συμπληρώσουμε ότι

\displaystyle{(f\circ g )(x)=T_2\Big(T_3(x)\Big)=32x^6-48x^4+18x^2-1=T_6(x)} και

\displaystyle{(g\circ f)(x)=T_3\Big(T_2(x)\Big)=32x^6-48x^4+18x^2-1=T_6(x)}.

Για όποιον ενδιαφέρεται, εδώ!


Μάγκος Θάνος
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Απόκης
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 5092
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
Τοποθεσία: Πάτρα
Επικοινωνία:

Re: Αντιμεταθετικότητα σύνθεσης

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Απόκης » Δευ Οκτ 10, 2011 12:25 am

Καλησπέρα. Δίνω μια απάντηση για Γ Λυκείου

Έστω A=\{x\in [-1,1] / f(x) \in [-1,1]\}=\{x\in [-1,1] ~/~ -1\leq 2x^2-1 \leq 1\}=

=\{x\in [-1,1] ~/~0\leq 2x^2 \leq 2\}=\{x\in [-1,1] ~/~0\leq x^2 \leq 1\}=[-1,1]\ne \varnothing}

άρα \color{blue}D_{gof}=[-1,1] και

\color{blue}(g \circ f)(x)\color{black}=g(f(x))=4(2x^2-1)^3-3(2x^2-1)=\color{blue}32x^6-48x^4+18x^2-1\color{black}.

Έστω B=\{x\in [-1,1] / g(x) \in [-1,1]\}=\{x\in [-1,1] ~/~ -1\leq 4x^3-3x \leq 1\}=

=\{x\in [-1,1] ~/~ 4x^3-3x+1\geq 0 ~ \kappa a \iota ~ 4x^3-3x-1\leq 0\}=

=\{x\in [-1,1] ~/~ (x+1)(2x-1)^2\geq 0 ~ \kappa a \iota ~ (x-1)(2x+1)^2 \leq 0\}=[-1,1]\ne \varnothing

άρα \color{blue}D_{fog}=[-1,1] και

\color{blue}(f \circ g)(x)\color{black}=f(g(x))=2(4x^3-3x)^2-1=\color{blue}32x^6-48x^4+18x^2-1\color{black}.

Edit: Ευχαριστώ τον parmenidis για την επισήμανσή του όσον αφορά στον τρόπο γραφής
του πεδίου ορισμού (πρώτα εξασφαλίζουμε ότι συναληθεύουν οι ανισώσεις)


Γιώργος
Άβαταρ μέλους
Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2813
Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Αντιμεταθετικότητα σύνθεσης

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Πρωτοπαπάς Λευτέρης » Δευ Οκτ 10, 2011 8:39 am

Νομίζω ότι αν γράψουμε
D_{gof}= \ldots =[-1,1]}

θα είμαστε οκ, δεδομένου ότι το σύνολο δεν είναι το κενό.

Το πρόβλημα θα ήταν να γράφαμε

D_{gof}= \ldots =\varnothing}.


Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: Αντιμεταθετικότητα σύνθεσης

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Δευ Οκτ 10, 2011 9:03 am

Η γνώμη μου είναι πως πρώτα εξασφαλίζουμε εαν ορίζεται η σύνθεση (με μη κενό σύνολο συναλήθευση των ανισώσεων) και μετά λέμε πως αφού ορίζεται, αυτό θα είναι το πεδίο ορισμού της. Έπειτα (προφανώς) αναζητούμε τον τύπο αυτής.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης