Έχει λύση ή...

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

kostas136
Δημοσιεύσεις: 631
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 6:47 pm
Τοποθεσία: Αθήνα, Ν. Αττικής
Επικοινωνία:

Έχει λύση ή...

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kostas136 » Δευ Οκτ 10, 2011 12:16 pm

Έστω συνάρτηση \displaystyle f(x)=(x^2-4x+3)g(x) όπου x\in R και g συνεχής στο R. Αν οι αριθμοί 1 και 3 είναι διαδοχικές λύσεις της f(x)=0 τότε να αποδείξετε ότι:

g(1)g(3)\geq 0

και να εξετάσετε αν η παρακάτω εξίσωση μπορεί να έχει λύση στο [1,3]:

g(x)+g(1)+g(3)=0


Life is like a box of chocolates. You never know what you might find inside!
To be the Black Swan, to be perfect!
Κώστας Καπένης
Άβαταρ μέλους
Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2813
Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Έχει λύση ή...

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Πρωτοπαπάς Λευτέρης » Δευ Οκτ 10, 2011 1:53 pm

Έστω g(1)g(3)<0 και αφού η συνάρτηση g είναι συνεχής στο [1,3] \subser \mathbb{R},
από το θεώρημα Bolzano υπάρχει x_0 \in (1,3) τέτοιο, ώστε g(x_0)=0.

Αυτό σημαίνει ότι και η εξίσωση f(x)=0 έχει ρίζα το x_0 \in (1,3), ΑΤΟΠΟ,
αφού διαδοχικές ρίζες της f(x)=0 είναι οι 1,3.

Συνεπώς: g(1)g(3) \geq 0.

Η εξίσωση μπορεί να έχει λύση στο [1,3]. Η ανάλυση το βράδυ αν δεν με προλάβει κάποιος...


Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
Άβαταρ μέλους
pito
Δημοσιεύσεις: 1754
Εγγραφή: Τρί Μάιος 18, 2010 10:41 pm
Τοποθεσία: mathematica

Re: Έχει λύση ή...

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από pito » Δευ Οκτ 10, 2011 1:55 pm

Για το (α) έστω ότι g(1)g(3)\prec 0 και η g είναι συνεχής στο [1,3]( αφού είναι συνεχής στο R) , άρα από Bolzano, θα υπάρχει ένα τουλάχιστον x_{o}\in (1,3) τέτοιο ώστε g(x_o)=0, όμως και από τη δοσμένη σχέση τότε f(x_{o})=0, δηλαδή υπάρχει και άλλη ρίζα της f(x)=0 στο (1,3), άτοπο. Άρα g(1)g(3)\geq 0


1. Δεν διδάσκουμε με αυτό που λέμε και κάνουμε. Διδάσκουμε με αυτό που είμαστε.
2. Ο μέτριος δάσκαλος περιγράφει. Ο καλός δάσκαλος εξηγεί. Ο σωστός δάσκαλος αποδεικνύει. Ο σπουδαίος δάσκαλος εμπνέει. ( Γουίλιαμ Γουάρντ)
Άβαταρ μέλους
pito
Δημοσιεύσεις: 1754
Εγγραφή: Τρί Μάιος 18, 2010 10:41 pm
Τοποθεσία: mathematica

Re: Έχει λύση ή...

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από pito » Δευ Οκτ 10, 2011 1:56 pm

Με πρόλαβε ο κύριος Λευτέρης :P


1. Δεν διδάσκουμε με αυτό που λέμε και κάνουμε. Διδάσκουμε με αυτό που είμαστε.
2. Ο μέτριος δάσκαλος περιγράφει. Ο καλός δάσκαλος εξηγεί. Ο σωστός δάσκαλος αποδεικνύει. Ο σπουδαίος δάσκαλος εμπνέει. ( Γουίλιαμ Γουάρντ)
Άβαταρ μέλους
Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2813
Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Έχει λύση ή...

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Πρωτοπαπάς Λευτέρης » Τρί Οκτ 11, 2011 9:20 am

Αφού κανείς δεν προχώρησε ολοκληρώνω τη σκέψη μου.

Αφού η f(x)=0 έχει διαδοχικές ρίζες τους αριθμούς 1,3 και είναι συνεχής στο \mathbb{R} διατηρεί πρόσημο εντός των ριζών της.
Δεδομένου ότι x^2-4x+3<0,x \in (1,3) έχουμε ότι:
* Αν f(x)>0, x \in (1,3), τότε g(x)<0, x \in (1,3) και
* Αν f(x)<0, x \in (1,3), τότε g(x)>0, x \in (1,3),
δηλαδή και η g(x) διατηρεί πρόσημο στο (1,3).

Έστω h(x)=g(x)+g(1)+g(3), x \in [1,3].
** Αν g(1)=g(3)=0, τότε η εξίσωση h(x)=0 έχει ρίζες x=1 ή x=3.
** Αν g(1) \neq 0, g(3)=0, τότε g(x) > 0, x \in [1,3) ή g(x) < 0, x \in [1,3),
άρα τότε η εξίσωση h(x)=0 είναι αδύνατη.
** Αν g(3) \neq 0, g(1)=0, τότε g(x) > 0, x \in (1,3] ή g(x) < 0, x \in (1,3],
άρα η εξίσωση h(x)=0 είναι αδύνατη.
** Αν g(1) \neq 0, g(3) \neq 0, τότε g(x) > 0, x \in [1,3] ή g(x) < 0, x \in [1,3],
άρα η εξίσωση h(x)=0 είναι αδύνατη.

edit: Διόρθωσα τη συνάρτηση h(x).
τελευταία επεξεργασία από Πρωτοπαπάς Λευτέρης σε Κυρ Οκτ 23, 2011 4:36 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
Άβαταρ μέλους
pito
Δημοσιεύσεις: 1754
Εγγραφή: Τρί Μάιος 18, 2010 10:41 pm
Τοποθεσία: mathematica

Re: Έχει λύση ή...

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από pito » Κυρ Οκτ 23, 2011 11:36 am

Εννοείτε ότι θέτουμε h(x)=g(x)+g(1)+g(3), σωστά;


1. Δεν διδάσκουμε με αυτό που λέμε και κάνουμε. Διδάσκουμε με αυτό που είμαστε.
2. Ο μέτριος δάσκαλος περιγράφει. Ο καλός δάσκαλος εξηγεί. Ο σωστός δάσκαλος αποδεικνύει. Ο σπουδαίος δάσκαλος εμπνέει. ( Γουίλιαμ Γουάρντ)
Άβαταρ μέλους
Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2813
Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Έχει λύση ή...

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Πρωτοπαπάς Λευτέρης » Κυρ Οκτ 23, 2011 4:35 pm

pito έγραψε:Εννοείτε ότι θέτουμε h(x)=g(x)+g(1)+g(3), σωστά;

Προφανώς έχεις δίκιο. Το διορθώνω. :oops:


Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες