Αριθμητικός Μέσος

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

kostas136
Δημοσιεύσεις: 631
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 6:47 pm
Τοποθεσία: Αθήνα, Ν. Αττικής
Επικοινωνία:

Αριθμητικός Μέσος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kostas136 » Δευ Οκτ 10, 2011 12:24 pm

Έστω συνάρτηση f: [a,b]\rightarrow R συνεχής και x_1, x_2,...,x_n σημεία του πεδίου ορισμού της f. Να αποδείξετε ότι ο αριθμητικός μέσος των f(x_1), f(x_2),..., f(x_n) ανήκει στο σύνολο τιμών της f.


Life is like a box of chocolates. You never know what you might find inside!
To be the Black Swan, to be perfect!
Κώστας Καπένης
Άβαταρ μέλους
pito
Δημοσιεύσεις: 1754
Εγγραφή: Τρί Μάιος 18, 2010 10:41 pm
Τοποθεσία: mathematica

Re: Αριθμητικός Μέσος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από pito » Δευ Οκτ 10, 2011 12:41 pm

Αφούη f είναι συνεχής στο \left[a,b \right] θα παρουσιάζει μέγιστη και ελάχιστη τιμή m και Μ αντίστοιχα άρα m\leq f(x_{1})\leq M,..., m\leq f(x_{n})\leq M και με πρόσθεση κατά μέλη nm\leq f(x_{1})+...+f(x_{n})\leq nM\Rightarrow m\leq \frac{f(x_{1})+...+f(x_{n})}{n}\leq M, άρα από ΘΕΤ θα υπάρχει x_{o}\in \left[a,b] τέτοιο ώστε f(x_{o})=\frac{f(x_{1})+...+f(x_{n})}{n}, πραγμα που αποδεικνύει το ζητούμενο


1. Δεν διδάσκουμε με αυτό που λέμε και κάνουμε. Διδάσκουμε με αυτό που είμαστε.
2. Ο μέτριος δάσκαλος περιγράφει. Ο καλός δάσκαλος εξηγεί. Ο σωστός δάσκαλος αποδεικνύει. Ο σπουδαίος δάσκαλος εμπνέει. ( Γουίλιαμ Γουάρντ)
Άβαταρ μέλους
Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2813
Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Αριθμητικός Μέσος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Πρωτοπαπάς Λευτέρης » Δευ Οκτ 10, 2011 1:38 pm

pito έγραψε:Αφούη f είναι συνεχής στο \left[a,b \right] θα παρουσιάζει μέγιστη και ελάχιστη τιμή m και Μ αντίστοιχα άρα m\leq f(x_{1})\leq M,..., m\leq f(x_{n})\leq M και με πρόσθεση κατά μέλη nm\leq f(x_{1})+...+f(x_{n})\leq nM\Rightarrow m\leq \frac{f(x_{1})+...+f(x_{n})}{n}\leq M, άρα από ΘΕΤ θα υπάρχει x_{o}\in \left[a,b] τέτοιο ώστε f(x_{o})=\frac{f(x_{1})+...+f(x_{n})}{n}, πραγμα που αποδεικνύει το ζητούμενο

Νομίζω ότι δεν ισχύει πάντα το ΘΕΤ. Χρειάζονται περιπτώσεις για m=M και m \neq M (ΘΕΤ).


Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
Άβαταρ μέλους
pito
Δημοσιεύσεις: 1754
Εγγραφή: Τρί Μάιος 18, 2010 10:41 pm
Τοποθεσία: mathematica

Re: Αριθμητικός Μέσος

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από pito » Δευ Οκτ 10, 2011 1:46 pm

Ναι έχετε δίκιο αν m=M τότε η f είναι σταθερή και έτσι μπορώ να επιλέξω τυχαίο x_{o}\in \left[a,b \right] ώστε f(x_{o})=\frac{f(x_{1})+...+f(x_{n})}{n} και αν m\prec M, τότε προκύπτει από ΘΕΤ.


1. Δεν διδάσκουμε με αυτό που λέμε και κάνουμε. Διδάσκουμε με αυτό που είμαστε.
2. Ο μέτριος δάσκαλος περιγράφει. Ο καλός δάσκαλος εξηγεί. Ο σωστός δάσκαλος αποδεικνύει. Ο σπουδαίος δάσκαλος εμπνέει. ( Γουίλιαμ Γουάρντ)
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8266
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Αριθμητικός Μέσος

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Δευ Οκτ 10, 2011 2:10 pm

Πρωτοπαπάς Λευτέρης έγραψε: Νομίζω ότι δεν ισχύει πάντα το ΘΕΤ. Χρειάζονται περιπτώσεις για m=M και m \neq M (ΘΕΤ).
Νομίζω ότι κάνουμε τα πράγματα πιο δύσκολα από ότι είναι. Με σωστή διατύπωση το θεώρημα ενδιάμεσης τιμής εφαρμόζεται και στην περίπτωση m=M.

Δεν το λέω βέβαια ως μομφή προς τον Λευτέρη. Εφόσον οι κανόνες του παιγνιδιού λένε ότι πρέπει να ακολουθούμε το σχολικό βιβλίο με αυτούς τους κανόνες οφείλουμε να παίξουμε και σωστά κάνει που μας προτρέπει να είμαστε προσεκτικοί.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης