Λύση εξίσωσης

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
Ανδρέας Πούλος
Δημοσιεύσεις: 1403
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 01, 2009 10:47 pm
Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ
Επικοινωνία:

Λύση εξίσωσης

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ανδρέας Πούλος » Τετ Οκτ 12, 2011 9:34 pm

Να επιλυθεί η εξίσωση 2^{x}+ 3^{x} = 97, χωρίς τη χρήση μεθόδων της Ανάλυσης.
Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος


Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6174
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Λύση εξίσωσης

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Τετ Οκτ 12, 2011 9:41 pm

Ανδρέας Πούλος έγραψε:Να επιλυθεί η εξίσωση 2^{x}+ 3^{x} = 97, χωρίς τη χρήση μεθόδων της Ανάλυσης.
Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος
Το \displaystyle{x=4} είναι προφανώς ρίζα της εξίσωσης.

Η συνάρτηση \displaystyle{f(x)=2^x+3^x} είναι φανερά γνησίως αύξουσα, άρα η παραπάνω ρίζα είναι μοναδική.


Μάγκος Θάνος
Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 3924
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Λύση εξίσωσης

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cretanman » Τετ Οκτ 12, 2011 9:42 pm

Ορίζουμε f(x)=2^x+3^x-97 η οποία είναι γνησίως αύξουσα στο \mathbb{R} (εύκολο κατασκευαστικά με τον ορισμό). Άρα η εξίσωση f(x)=0 έχει το πολύ μία λύση. Αφού η x=4 είναι προφανής λύση, άρα είναι και μοναδική.

Ανδρέα αυτή τη λύση έχεις στο μυαλό σου;

Αλέξανδρος

EDIT: Με πρόλαβε ο Θάνος


Αλέξανδρος Συγκελάκης
Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: Λύση εξίσωσης

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Τετ Οκτ 12, 2011 9:44 pm

Επίλυση εξίσωσης με προφανή ρίζα και μονοτονία μου θυμίζει Ανάλυση. :P


Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6174
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Λύση εξίσωσης

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Τετ Οκτ 12, 2011 9:47 pm

parmenides51 έγραψε:Επίλυση εξίσωσης με προφανή ρίζα και μονοτονία μου θυμίζει Ανάλυση. :P
Δε νομίζω. Στα χωράφια της ανάλυσης μπαίνουμε τη στιγμή που αρχίζουν τα έψιλον.


Μάγκος Θάνος
Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: Λύση εξίσωσης

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Τετ Οκτ 12, 2011 10:02 pm

Έχεις δίκιο. Παρασύρθηκα από το σχολικό της Γ' που τα εντάσσει στο Μέρος Β΄ Ανάλυση.
Στην Εκθετική - Λογαριθμική Συνάρτηση της Β΄ (κεφάλαιο 4) εντάσσονται στην Άλγεβρα.


Άβαταρ μέλους
Ανδρέας Πούλος
Δημοσιεύσεις: 1403
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 01, 2009 10:47 pm
Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ
Επικοινωνία:

Re: Λύση εξίσωσης

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ανδρέας Πούλος » Τετ Οκτ 12, 2011 11:01 pm

Το ότι οι εκθετικές συναρτήσεις με βάση > 1 είναι γνησίως αύξουσες, δεν αποδεικνύεται με μεθόδους της Ανάλυσης;
Στο σημείο αυτό βασίζεται ο προβληματισμός μου. Η λύσης x = 4 είναι προφανής, αλλά οι άλλες "πιθανές λύσεις" πώς αποκλείονται;
Η μετάβαση από τις δυνάμεις με εκθέτη ακέραιο σε εκθέτη ρητό και γενικά με εκθέτη πραγματικό είναι το σημείο κλειδί.
Από ένα τέτοιο πρόβλημα μπορεί να ανοίξει μία συζήτηση τι είναι τα όρια και πού μπορούν να χρησιμεύσουν.
Τα γράφω αυτά, επειδή ξεκίνησε μία κουβέντα στην τάξη, σε συνδυασμό με τις "κρυφές και αναπόδεικτες" ιδιότητες των εκθετικών συναρτήσεων.
Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος
τελευταία επεξεργασία από Γενικοί Συντονιστές σε Τετ Οκτ 12, 2011 11:09 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λόγος: Διόρθωση Κώδικα LaTeX


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11542
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Λύση εξίσωσης

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Οκτ 12, 2011 11:20 pm

Ανδρέας Πούλος έγραψε:Το ότι οι εκθετικές συναρτήσεις με βάση > 1 είναι γνησίως αύξουσες, δεν αποδεικνύεται με μεθόδους της Ανάλυσης;<...>
Όχι μόνο η απόδειξη αλλά και ο ίδιος ο ορισμός της εκθετικής περνά από Ανάλυση (χρησιμοποιεί αξίωμα πληρότητας). Στο Σχολείο φυσικά (και σωστά), χρησιμοποιούμε τον ορισμό και τις βασικές ιδιότητες ως δεδομένα.

Μ.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες