Συναρτήσεις 1

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Γιώργος Κ77
Δημοσιεύσεις: 434
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 9:13 pm
Τοποθεσία: Χρυσούπολη
Επικοινωνία:

Συναρτήσεις 1

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Κ77 » Κυρ Οκτ 16, 2011 2:15 pm

Δίνεται η σχέση :

\left|x^{2}f(y)-y^{2}f(x) \right|\leq x+y,, για κάθε x,y\geq 0.

Αν f(1)=1, να βρείτε τη συνάρτηση f.


Γιώργος Κ.
Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6175
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Συναρτήσεις 1

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Κυρ Οκτ 16, 2011 3:11 pm

Γιώργος Κ77 έγραψε:Δίνεται η σχέση :

\left|x^{2}f(y)-y^{2}f(x) \right|\leq x+y,, για κάθε x,y\geq 0.

Αν f(1)=1, να βρείτε τη συνάρτηση f.
Η δεδομένη, για \displaystyle{y=0,} και \displaystyle{x>0} γίνεται \displaystyle{|f(0)|\leq \frac{1}{x}.}
Αφήνοντας το \displaystyle{x\to +\infty} βρίσκουμε \displaystyle{f(0)=0.}

Ας είναι τώρα \displaystyle{x,y>0.} Η σχέση γράφεται

\displaystyle{\Big|\frac{f(x)}{x^2}-\frac{f(y)}{y^2}\Big|\leq \frac{x+ 
y}{x^2y^2}.}

Σταθεροποιώντας το \displaystyle{x} και αφήνοντας το \displaystyle{y\to +\infty} βλέπουμε ότι η συνάρτηση \displaystyle{\frac{f(x)}{x^2}} είναι σταθερή και επειδή είναι \displaystyle{f(1)=1} βρίσκουμε \displaystyle{f(x)=x^2,} τύπος, ο οποίος ικανοποιείται και για \displaystyle{x=0.}
Τελικά είναι \displaystyle{f(x)=x^2.}


Μάγκος Θάνος
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5799
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Συναρτήσεις 1

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Δευ Οκτ 17, 2011 12:08 am

Μια παρόμοια είναι η 3, εδώ.


Θανάσης Κοντογεώργης
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Google [Bot] και 1 επισκέπτης