Συνέχεια

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
Καρδαμίτσης Σπύρος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2326
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 11:14 pm
Επικοινωνία:

Συνέχεια

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Καρδαμίτσης Σπύρος » Κυρ Οκτ 16, 2011 6:24 pm

Χαιρετώ τους φίλους …..

Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle{ 
f:(0, + \infty ) \to \Re  
}, για την οποία ισχύει:

\displaystyle{ 
e^{f(x)}  + f(x) = \ln x 
} για κάθε \displaystyle{ 
x > 0 
}

Αν το όριο \displaystyle{ 
\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = \ell  \in \Re  
}
να δείξετε ότι η συνάρτηση \displaystyle{ 
f 
} είναι συνεχής στο \displaystyle{ 
x = 1 
}


Καρδαμίτσης Σπύρος
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11547
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Συνέχεια

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Οκτ 16, 2011 6:51 pm

Καρδαμίτσης Σπύρος έγραψε:Χαιρετώ τους φίλους …..

Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle{ 
f:(0, + \infty ) \to \Re  
}, για την οποία ισχύει:

\displaystyle{ 
e^{f(x)}  + f(x) = \ln x 
} για κάθε \displaystyle{ 
x > 0 
}

Αν το όριο \displaystyle{ 
\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = \ell  \in \Re  
}
να δείξετε ότι η συνάρτηση \displaystyle{ 
f 
} είναι συνεχής στο \displaystyle{ 
x = 1 
}
Αν ονομάσουμε g την λογαριθμική συνάρτηση και h: \mathbb R \to \mathbb R την h(x)=e^x+x εύκολα βλέπουμε ότι η h είναι γνήσια αύξουσα, συνεχής, επί του \mathbb R, αντιστρέψιμη με συνεχή αντίστροφη (*).
H υπόθεση είναι h\circ f = g. Άρα f= h^{-1}\circ g από όπου έπεται (κάτι περισσότερο από) το ζητούμενο.

Ας σημειωθεί ακόμη ότι δεν έγινε χρήση μιάς υπόθεσης.

Φιλικά,

Μιχάλης

(*) αυτό δεν υπάρχει στο σχολικό βιβλίο, αλλά είναι "προφανές" αν εξετάσουμε το γράφημα της αντίστροφης.


Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6826
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Συνέχεια

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Κυρ Οκτ 16, 2011 7:03 pm

Λίγο πιό σχολικά,όπως θα την έλυνε ένας μαθητής:
Αν \displaystyle{ 
g(x) = e^x  + x,x > 0 
} τότε εύκολα (ή κατασκευαστικά ή με παράγωγο) προκύπτει πως η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο εν λόγω διάστημα.
Επομένως και ένα προς ένα.
Τώρα επιπλέον:

\displaystyle{ 
\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} (e^{f(x)}  + f(x)) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \ln x \Rightarrow e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x)}  + \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = 0 \Rightarrow e^l  + l = 0:(1) 
} (μιάς και τα όρια υπάρχουν)

Ακόμη για \displaystyle{ 
x = 1 
} στη δοθείσα λαμβάνω \displaystyle{ 
e^{f(1)}  + f(1) = 0:(2) 
}
Από τις σχέσεις \displaystyle{ 
(1),(2) 
} λαμβάνω \displaystyle{ 
f(1) = l 
} λόγω του ένα προς ένα χαρακτήρα της συνάρτησης.
Η συνάρτηση είναι συνεχής στο 1


Χρήστος Κυριαζής
Άβαταρ μέλους
nsmavrogiannis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4246
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Συνέχεια

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nsmavrogiannis » Κυρ Οκτ 16, 2011 7:05 pm

Κάτι πιο σχολικό (*):
e^{f\left( x\right) }+f\left( x\right) =\ln x, e^{f\left( x_{0}\right) }+f\left( x_{0}\right) =\ln x_{0} άρα
\left( e^{f\left( x\right) }-e^{f\left( x_{0}\right) }\right) +\left( f\left( x\right) -f\left( x_{0}\right) \right) =\ln x-\ln x_{0}
και επομένως
\left( f\left( x\right) -f\left( x_{0}\right) \right) \left( e^{t\left( x\right) }+1\right) =\ln x-\ln x_{0}
Όπου χρησιμοποιήθηκε το θεώρημα μέσης τιμής για την e^x στα f\left( x\right), f\left( x_{0}\right).
Τώρα:
\left| f\left( x\right) -f\left( x_{0}\right) \right| =\frac{\left| \ln x-\ln x_{0}\right| }{e^{t\left( x\right) }+1}<\left| \ln x-\ln x_{0}\right|
από την οποία προκύπτει (είναι κλασική τεχνική) ότι η f είναι συνεχής στο x_0.
Σημείωση 1 Δεν χρησιμοποιήθηκε η υπόθεση της ύπαρξης του ορίου στο 1 και αποδείχθηκε η συνέχεια στο τυχόν x_0
Σημείωση 2 Χρησιμοποιώντας την σχέση \frac{f\left( x\right) -f\left( x_{0}\right) }{x-x_{0}}=\frac{\ln x-\ln x_{0}}{x-x_{0}}\left( \left( e^{t\left( x\right) }+1\right) \right) και παρατηρώντας ότι αφού η f είναι συνεχής θα είναι \lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}t\left( x\right) =f\left( x_{0}\right) και επομένως μπορούμε να έχουμε ένα ισχυρότερο συμπέρασμα: Η f είναι παραγωγίσιμη.
Σημείωση 3 Δεν το βρίσκω τώρα αλλά νομίζω ότι κάτι ανάλογο είχαμε συζητήσει στο pathfinder/mathamatica
(*) Μόλις το πρόσεξα. Η λύση δεν ταιριάζει σε αυτόν τον φάκελο. Την αφήνω για ποικιλία.
Μαυρογιάννης
τελευταία επεξεργασία από nsmavrogiannis σε Κυρ Οκτ 16, 2011 7:07 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λόγος: Προσθήκη αστερίσκου


Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Άβαταρ μέλους
Χρήστος Λαζαρίδης
Δημοσιεύσεις: 656
Εγγραφή: Παρ Ιαν 09, 2009 10:48 am
Τοποθεσία: Παλαιό Φάληρο
Επικοινωνία:

Re: Συνέχεια

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Χρήστος Λαζαρίδης » Κυρ Οκτ 16, 2011 7:14 pm

Νομίζω, πολύ διστακτικά, ότι συμβαίνει κάτι παράδοξο!
Αν πάρουμε τα όρια στην δοθείσα σχέση, τότε προκύπτει:
\displaystyle{e^{l}+l=0},εξίσωση που είναι αδύνατη,στο διάστημα \displaystyle{\left( 0,+\propto \right)}!!!
Άρα το \displaystyle{l\epsilon R}, ποιο είναι;

Φιλικά Χρήστος


Ο ηλίθιος είναι αήττητος
Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: Συνέχεια

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Κυρ Οκτ 16, 2011 7:18 pm

Δεν νομίζω πως είναι αδύνατη γιατί x\in (0,+\infty) ενώ l\in (-\infty,0).


Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6826
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Συνέχεια

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Κυρ Οκτ 16, 2011 7:19 pm

Χρήστο γιατί μας ενδιαφέρει το \displaystyle{ 
(0, + \infty ) 
};;
Η συνάρτηση f υπάρχει εδώ και είναι αυτή που υποδεικνύει πιό πάνω ο Μιχάλης Λάμπρου.
τελευταία επεξεργασία από chris_gatos σε Κυρ Οκτ 16, 2011 7:22 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Χρήστος Κυριαζής
Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: Συνέχεια

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Κυρ Οκτ 16, 2011 7:21 pm

Το l είναι η μοναδική ρίζα της e^x+x=0 στο \mathbb{R}

edit2:
Στην παραπάνω εξίσωση μεταβλητή είναι το l που επιτρέπεται να παίρνει αρνητικές τιμές. Οπότε δεν υπάρχει πρόβλημα.
τελευταία επεξεργασία από parmenides51 σε Κυρ Οκτ 16, 2011 7:51 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Άβαταρ μέλους
nsmavrogiannis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4246
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Συνέχεια

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nsmavrogiannis » Κυρ Οκτ 16, 2011 7:43 pm

Απόντος του φίλου Γρηγόρη Κωστάκου θα ήθελα να προσθέσω πως βρίσκω (με την ευγενική συδρομή του Maple) ότι η f είναι η
f\left( x\right) \allowbreak =-\func{LambertW}\left( x\right) +\ln x
που, βέβαια, δεν είναι στοιχειώδης συνάρτηση.
Μαυρογιάννης


Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Νασιούλας Αντώνης
Δημοσιεύσεις: 623
Εγγραφή: Πέμ Οκτ 21, 2010 10:12 pm
Τοποθεσία: Αθήνα-Βόλος
Επικοινωνία:

Re: Συνέχεια

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Νασιούλας Αντώνης » Δευ Οκτ 24, 2011 12:06 am

Νομίζω πως βρήκα μια λύση, κατάλληλη για τον φάκελο, με την οποία μπορούμε να δείξουμε ότι η f είναι συνεχής στο (0,\infty).
Ελπίζω να είναι σωστή.

Χρησιμοποιώ ως δεδομένο μόνο το:
\displaystyle{ 
f:(0, + \infty ) \to \Re  
}, για την οποία ισχύει: e^{f(x)}+f(x)=lnx, \forall x \in (0,\infty) \color{red}{(1)}.

Θεωρώ την συνάρτηση g(x)=e^x+x, x\in \mathbb{R} \color{red}{(2)}.
Η g μπορούμε εύκολα να δείξουμε (συνθετικά) ότι είναι γνησίως αύξουσα στο \mathbb{R}.

Από τις \color{red}{(1)},\color{red}{(2)} έχουμε ότι:
g\left( f(x)\right)=e^{f(x)}+f(x)=lnx,  \forall x \in (0,\infty) \color{red}{(3)}

Επειδή η ln και η g είναι γνησίως αύξουσες στο (0,\infty) μπορούμε εύκολα να δείξουμε (είτε με άτοπο είτε χρησιμοποιώντας το αντίστροφο του ορισμό της γνησίως αύξουσας) ότι και η f είναι γνησίως αύξουσα στο (0,\infty).

Έστω τώρα x>x_0>0:
Επειδή η f είναι γνήσια αύξουσα έχουμε ότι f(x)>f(x_0). Από αυτήν τώρα έχουμε διαδοχικά:
\displaystyle{e^{f(x)}>e^{f(x_0)}\Rightarrow e^{f(x)}-e^{f(x_0)}+f(x)-f(x_0)>f(x)-f(x_0)\mathop  \Rightarrow \limits^{\color{red}{(3)}} lnx-lnx_0>f(x)-f(x_0)>0}\Rightarrow
\Rightarrow -(lnx-lnx_0)<f(x)-f(x_0)<lnx-lnx_0,
από την οποία άμεσα με το Κριτήριο Παρεμβολής έχουμε ότι:

\displaystyle{\lim_{x\to x_0^+}f(x)=f(x_0)}.

Εργαζόμενοι με όμοιο τρόπο για 0<x<x_0 έχουμε ότι \displaystyle{\lim_{x\to x_0^-}f(x)=f(x_0)}.

Απ τις δυο τελευταίες σχέσεις το συμπέρασμα είναι άμεσο.

Edit: Όπως σωστά μου επισήμανε ο κ. Χρήστος (gatos) είναι περιττό το "χτίσιμο" της διπλής ανισότητας με lnx,lnx_0. Το 0 από τη μια μας καλύπτει.


"Το να έχεις συνείδηση της άγνοιάς σου, είναι ένα μεγάλο βήμα προς τη γνώση" , Benjamin Disraeli
"Η αλήθεια ενός θεωρήματος, βρίσκεται στο μυαλό σου, όχι στα μάτια σου" , Άλμπερτ Αϊνστάιν
makisman
Δημοσιεύσεις: 288
Εγγραφή: Τετ Μαρ 03, 2010 12:20 am

Re: Συνέχεια

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από makisman » Δευ Οκτ 24, 2011 1:30 am

ελαφρως διαφορετικά από chris_gatos


e^{f(x)}+f(x)=lnx\Rightarrow e^{f(1)}+f(1)=0\Rightarrow-f(1)=e^{f(1)}

e^{f(x)}+f(x)=lnx\Rightarrow\lim_{x\rightarrow 1}[e^{f(x)}+f(x)]= \lim_{x\rightarrow 1}\left( lnx\right)\Rightarrow e^{l}+l=0\Rightarrow -l=e^{l}

* αν l<f(1)\Rightarrow e^{l}<e^{f(1)}  \Rightarrow -l<-f(1)\Rightarrow l>f(1) ,άτοπο

* αν l>f(1)\Rightarrow e^{l}>e^{f(1)}\Rightarrow -l>-f(1)\Rightarrow l<f(1) ,άτοπο

άρα l=f(1)

και \lim_{x\rightarrow 1}f(x)=f(1), αρα συνεχης στο 1


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες