Συναρτήσεις 2

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Γιώργος Κ77
Δημοσιεύσεις: 434
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 9:13 pm
Τοποθεσία: Χρυσούπολη
Επικοινωνία:

Συναρτήσεις 2

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Κ77 » Τετ Οκτ 19, 2011 12:21 am

Δίνεται τρίγωνο ABC, με \hat{A}>90^{o}.

Να αποδειχθεί ότι υπάρχουν τουλάχιστον δύο σημεία M της πλευράς BC, για τα οποία ισχύει :

MA^{2}=MB\cdot MC.


Γιώργος Κ.
Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5358
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Συναρτήσεις 2

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Τετ Οκτ 19, 2011 12:54 am

Γεωμετριά βγαίνει με βάση το σχήμα που ακολουθεί,παίρνοντας σαν βάση το ύψος AD. Επιτρέψτε μου να μην δώσω λεπτομέρειες τώρα, καθότι θα πρέπει να εξηγηθεί από τους λύτες με βάση τον φάκελο που τοποθετήθηκε. Οι θέσεις είναι οι M,M{'}.

S.E.Louridas
Συνημμένα
με βάση την καθετότητα.png
με βάση την καθετότητα.png (34.77 KiB) Προβλήθηκε 487 φορές


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6174
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Συναρτήσεις 2

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Τετ Οκτ 19, 2011 1:06 am

Γιώργος Κ77 έγραψε:Δίνεται τρίγωνο ABC, με \hat{A}>90^{o}.

Να αποδειχθεί ότι υπάρχουν τουλάχιστον δύο σημεία M της πλευράς BC, για τα οποία ισχύει :

MA^{2}=MB\cdot MC.
θεωρούμε ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων με αρχή το σημείο \displaystyle{B(0,0)} και θετικό ημιάξονα την ημιευθεία \displaystyle{BC.} Ας είναι \displaystyle{C(1,0)} και \displaystyle{A(a,b).}

Επειδή \displaystyle{\hat{A}>90^o}, έχουμε \displaystyle{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}<0}, άρα \displaystyle{a^2+b^2-a<0.} (I)

Ας είναι \displaystyle{M(x,0)} σημείο της πλευράς \displaystyle{BC.}

Προφανώς, το ζητούμενο ισοδυναμεί με το να αποδείξουμε, ότι η εξίσωση

\displaystyle{x(1-x)=(a-x)^2+b^2} έχει δύο ρίζες στο διάστημα \displaystyle{(0,1).}

Θεωρούμε τη συνάρτηση \displaystyle{f:[0,1]\to \mathbb{R}} με \displaystyle{f(x)=x-x^2-(a-x)^2-b^2}

Η \displaystyle{f} είναι συνεχής στα διαστήματα \displaystyle{\Big[0,\frac{1}{2}\Big],\Big[\frac{1}{2},1\Big]} και

\displaystyle{f(0)=-a^2-b^2<0,f(\frac{1}{2})=a-a^2-b^2>0, f(1)=-(a-1)^2-b^2<0.}

Από το θεώρημα Bolzano η \displaystyle{f} έχει τουλάχιστον μία ρίζα σε καθένα από τα διαστήματα \displaystyle{\Big(0,\frac{1}{2}\Big),\Big(\frac{1}{2},1\Big)} και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.


Μάγκος Θάνος
Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: Συναρτήσεις 2

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Τετ Ιαν 11, 2012 11:28 pm

Άλλες λύσεις έχουμε δει κι εδώ .

Δυο εικασίες του Ανδρέα Πούλου στην παραπομπή παραμένουν εικασίες :?
Ρίξτε καμία ματιά και πείτε καμιά ιδέα.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης