Σελίδα 1 από 1

Συναρτήσεις 2

Δημοσιεύτηκε: Τετ Οκτ 19, 2011 12:21 am
από Γιώργος Κ77
Δίνεται τρίγωνο ABC, με \hat{A}>90^{o}.

Να αποδειχθεί ότι υπάρχουν τουλάχιστον δύο σημεία M της πλευράς BC, για τα οποία ισχύει :

MA^{2}=MB\cdot MC.

Re: Συναρτήσεις 2

Δημοσιεύτηκε: Τετ Οκτ 19, 2011 12:54 am
από S.E.Louridas
Γεωμετριά βγαίνει με βάση το σχήμα που ακολουθεί,παίρνοντας σαν βάση το ύψος AD. Επιτρέψτε μου να μην δώσω λεπτομέρειες τώρα, καθότι θα πρέπει να εξηγηθεί από τους λύτες με βάση τον φάκελο που τοποθετήθηκε. Οι θέσεις είναι οι M,M{'}.

S.E.Louridas

Re: Συναρτήσεις 2

Δημοσιεύτηκε: Τετ Οκτ 19, 2011 1:06 am
από matha
Γιώργος Κ77 έγραψε:Δίνεται τρίγωνο ABC, με \hat{A}>90^{o}.

Να αποδειχθεί ότι υπάρχουν τουλάχιστον δύο σημεία M της πλευράς BC, για τα οποία ισχύει :

MA^{2}=MB\cdot MC.
θεωρούμε ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων με αρχή το σημείο \displaystyle{B(0,0)} και θετικό ημιάξονα την ημιευθεία \displaystyle{BC.} Ας είναι \displaystyle{C(1,0)} και \displaystyle{A(a,b).}

Επειδή \displaystyle{\hat{A}>90^o}, έχουμε \displaystyle{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}<0}, άρα \displaystyle{a^2+b^2-a<0.} (I)

Ας είναι \displaystyle{M(x,0)} σημείο της πλευράς \displaystyle{BC.}

Προφανώς, το ζητούμενο ισοδυναμεί με το να αποδείξουμε, ότι η εξίσωση

\displaystyle{x(1-x)=(a-x)^2+b^2} έχει δύο ρίζες στο διάστημα \displaystyle{(0,1).}

Θεωρούμε τη συνάρτηση \displaystyle{f:[0,1]\to \mathbb{R}} με \displaystyle{f(x)=x-x^2-(a-x)^2-b^2}

Η \displaystyle{f} είναι συνεχής στα διαστήματα \displaystyle{\Big[0,\frac{1}{2}\Big],\Big[\frac{1}{2},1\Big]} και

\displaystyle{f(0)=-a^2-b^2<0,f(\frac{1}{2})=a-a^2-b^2>0, f(1)=-(a-1)^2-b^2<0.}

Από το θεώρημα Bolzano η \displaystyle{f} έχει τουλάχιστον μία ρίζα σε καθένα από τα διαστήματα \displaystyle{\Big(0,\frac{1}{2}\Big),\Big(\frac{1}{2},1\Big)} και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

Re: Συναρτήσεις 2

Δημοσιεύτηκε: Τετ Ιαν 11, 2012 11:28 pm
από parmenides51
Άλλες λύσεις έχουμε δει κι εδώ .

Δυο εικασίες του Ανδρέα Πούλου στην παραπομπή παραμένουν εικασίες :?
Ρίξτε καμία ματιά και πείτε καμιά ιδέα.