Συναρτήσεις 3

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Γιώργος Κ77
Δημοσιεύσεις: 434
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 9:13 pm
Τοποθεσία: Χρυσούπολη
Επικοινωνία:

Συναρτήσεις 3

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Κ77 » Τετ Οκτ 19, 2011 3:09 pm

Δίνεται συνάρτηση f(x)=\sqrt{x^{2}+3x}+\sqrt{4x^{2}+5}.

Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση f "προσεγγίζεται" στο συν άπειρο από πρωτοβάθμιο διώνυμο.


Γιώργος Κ.
Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6175
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Συναρτήσεις 3

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Τετ Οκτ 19, 2011 7:18 pm

Γιώργος Κ77 έγραψε:Δίνεται συνάρτηση f(x)=\sqrt{x^{2}+3x}+\sqrt{4x^{2}+5}.

Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση f "προσεγγίζεται" στο συν άπειρο από πρωτοβάθμιο διώνυμο.
Ζητείται να αποδειχθεί, ότι υπάρχουν \displaystyle{a,b\in \mathbb{R},a\ne 0,} ώστε \displaystyle{\lim_{x\to +\infty}[f(x)-(ax+b)]=0.}

Για \displaystyle{x} αρκούντως μεγάλο, είναι

\displaystyle{f(x)-(ax+b)=x\Big(\sqrt{1+\frac{3}{x}}+\sqrt{4+\frac{5}{x^2}}-a-\frac{b}{x}}\Big)}.

Η παρένθεση, όταν \displaystyle{x\to +\infty ,} έχει όριο το \displaystyle{3-a.}

Αν, λοιπόν, ήταν \displaystyle{a\ne 3,} θα είχαμε

\displaystyle{\lim_{x\to +\infty}[f(x)-(ax+b)]=+\infty}ή \displaystyle{-\infty}, ανάλογα με το πρόσημο του \displaystyle{3-a.}

Για να είναι λοιπόν, το όριο αυτό ίσο με το μηδέν, πρέπει \displaystyle{\boxed{a=3}.}

Τώρα, όταν \displaystyle{a=3,} είναι

\displaystyle{f(x)-3x=\sqrt{x^2+3x}-x+\sqrt{4x^2+5}-2x=\frac{3x}{\sqrt{x^2+3x}+x}+\frac{5}{\sqrt{4x^2+5}+2x}=}

\displaystyle{=\frac{3}{\sqrt{1+\frac{3}{x}}+1}+\frac{5}{\sqrt{4x^2+5}+2x}\to \frac{3}{2}} καθώς \displaystyle{x\to +\infty.}

Άρα, πρέπει \displaystyle{b=\frac{3}{2}.}

Είναι απλή υπόθεση να δούμε ότι \displaystyle{\lim_{x\to +\infty}\Big[f(x)-\Big(3x+\frac{3}{2}\Big)\Big]=0.}


Μάγκος Θάνος
Άβαταρ μέλους
nsmavrogiannis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4246
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Συναρτήσεις 3

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nsmavrogiannis » Τετ Οκτ 19, 2011 8:09 pm

Πρόκειται για τυπική άσκηση εύρεσης ασυμπτώτων. Αν δοθεί στο κεφάλαιο του διαφορικού λογισμού είναι άσκηση ρουτίνας. Εδώ που δίνεται είναι φαινομενικά δυσκολότερη.
Παλαιότερα οι ασύμπτωτοι διδάσκονταν, και σωστά, μαζί με τα όρια και κάποιοι αυτή την διευθέτηση την υιοθετούμε ακόμη.
Αν λοιπόν το ερώτημα έμπαινε στο "σωστό" πλαίσιο ο λύτης θα γλύτωνε κάποιο κόπο για την εύρεση του a:
a=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{f\left( x\right) }{x}=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{\sqrt{x^{2}+3x}+\sqrt{4x^{2}+5}}{x}=\allowbreak 3
Η υπόλοιπη δουλειά μάλλον δεν απλοποιείται και θα γίνει όπως γράφει ο Θάνος.
Μαυρογιάννης


Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης