Υπαρξιακό σε τετράγωνο!

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6174
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Υπαρξιακό σε τετράγωνο!

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Τετ Οκτ 19, 2011 8:04 pm

Με αφορμή αυτό το θέμα:

Δίνεται τετράγωνο \displaystyle{ABCD} πλευράς \displaystyle{1.}
Να αποδείξετε, ότι υπάρχει σημείο \displaystyle{M} της διαγωνίου \displaystyle{AC,} τέτοιο ώστε να ισχύει

\displaystyle{MA+MB+MD=3.}


Μάγκος Θάνος
Άβαταρ μέλους
chris
Δημοσιεύσεις: 1176
Εγγραφή: Πέμ Μαρ 11, 2010 9:39 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα - Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Υπαρξιακό σε τετράγωνο!

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris » Τετ Οκτ 19, 2011 8:17 pm

Προσαρτούμε το τετράγωνο σε ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων έτσι ώστε A(0,0),B(0,1),C(1,1),D(1,0) και αφού το M είναι στην AC θα έχει συντεταγμένες (x,x) με x\in [0,1] επομένως είναι :

MA+MB+MD=3\Leftrightarrow \boxed{x\sqrt{2}+2\sqrt{x^2+(x-1)^2}=3}:(1)

Αρκεί να αποδείξουμε οτι υπάρχει ρίζα της (1) και για αυτό θεωρούμε την συνάρτηση:
g(x)=x\sqrt{2}+2\sqrt{x^2+(x-1)^2}-3,x \in [0,1]
με g(0)g(1)=3-2-\sqrt{2}<0 άρα απο Bolzano υπάρχει ρίζα της (1) στο (0,1) και άρα υπάρχει τέτοιο σημείο M


Στραγάλης Χρήστος
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες