Υπαρξιακό σε τετράγωνο!

#1

Με αφορμή αυτό το θέμα:

Δίνεται τετράγωνο $\displaystyle{ABCD}$ πλευράς $\displaystyle{1.}$
Να αποδείξετε, ότι υπάρχει σημείο $\displaystyle{M}$ της διαγωνίου $\displaystyle{AC,}$ τέτοιο ώστε να ισχύει

$\displaystyle{MA+MB+MD=3.}$

chris · #2

Προσαρτούμε το τετράγωνο σε ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων έτσι ώστε A(0,0),B(0,1),C(1,1),D(1,0)

και αφού το

είναι στην

θα έχει συντεταγμένες (x,x)

με $x\in [0,1]$ επομένως είναι :

$MA+MB+MD=3\Leftrightarrow \boxed{x\sqrt{2}+2\sqrt{x^2+(x-1)^2}=3}:(1)$

Αρκεί να αποδείξουμε οτι υπάρχει ρίζα της (1)

και για αυτό θεωρούμε την συνάρτηση:
$g(x)=x\sqrt{2}+2\sqrt{x^2+(x-1)^2}-3,x \in [0,1]$
με $g(0)g(1)=3-2-\sqrt{2}<0$ άρα απο Bolzano υπάρχει ρίζα της (1)

στο

και άρα υπάρχει τέτοιο σημείο

Υπαρξιακό σε τετράγωνο!

Υπαρξιακό σε τετράγωνο!

Re: Υπαρξιακό σε τετράγωνο!

Μέλη σε σύνδεση