Σελίδα 1 από 1

Υπαρξιακό σε τετράγωνο!

Δημοσιεύτηκε: Τετ Οκτ 19, 2011 8:04 pm
από matha
Με αφορμή αυτό το θέμα:

Δίνεται τετράγωνο \displaystyle{ABCD} πλευράς \displaystyle{1.}
Να αποδείξετε, ότι υπάρχει σημείο \displaystyle{M} της διαγωνίου \displaystyle{AC,} τέτοιο ώστε να ισχύει

\displaystyle{MA+MB+MD=3.}

Re: Υπαρξιακό σε τετράγωνο!

Δημοσιεύτηκε: Τετ Οκτ 19, 2011 8:17 pm
από chris
Προσαρτούμε το τετράγωνο σε ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων έτσι ώστε A(0,0),B(0,1),C(1,1),D(1,0) και αφού το M είναι στην AC θα έχει συντεταγμένες (x,x) με x\in [0,1] επομένως είναι :

MA+MB+MD=3\Leftrightarrow \boxed{x\sqrt{2}+2\sqrt{x^2+(x-1)^2}=3}:(1)

Αρκεί να αποδείξουμε οτι υπάρχει ρίζα της (1) και για αυτό θεωρούμε την συνάρτηση:
g(x)=x\sqrt{2}+2\sqrt{x^2+(x-1)^2}-3,x \in [0,1]
με g(0)g(1)=3-2-\sqrt{2}<0 άρα απο Bolzano υπάρχει ρίζα της (1) στο (0,1) και άρα υπάρχει τέτοιο σημείο M