Θα ανανεώνω την παρούσα δημοσίευση ώστε να παραμένουν όλα τα links στην 1η σελίδα.
Θα συμπληρώνω και τυχόν ενδιαφέρουσες συλλογές ασκήσεων προσπαθώντας να είμαι όσο γίνεται πιο αντικειμενικός στην κρίση.
Στην παρούσα δημοσίευση συμπεριλαμβάνεται η συντριπτική πλειοψηφία των σχετικών δημοσιεύσεων.
Η σειρά είναι αυστηρά χρονολογική. Τελευταία άσκηση: 01/08/2012 (φάκελος: Συναρτήσεις Ορια Συνέχεια) 31/12/2011 (λοιποί φάκελοι)
Αναλυτικά οι ενημερώσεις εδώ.
Χρησιμοποιούνται οι φάκελοι:
Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια, Ασκήσεις μόνο για μαθητές, Θέματα με απαιτήσεις, ΑΣΕΠ: Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών, Φάκελος του Καθηγητή: Ανάλυση.
Όλα τα μαθήματα: Bulletin Ευρετήριο
ΑΓΥΜΝ , ΒΓΥΜΝ , ΓΓΥΜΝ , ΑΛΑΛΓ (πρόοδοι), ΑΛΓΕΩ , ΒΛΑΛΓ (συστήματα), ΒΛΓΕΩ , ΒΛΚΑΤ , ΓΛΓΕΝ , ΓΛ ΜΙΓΑΔ , ΓΛ ΣΥΝΑΡΤ, ΓΛ ΔΙΑΦΟΡ, ΓΛ ΟΛΟΚΛ, ΓΛK ΕΠΑΝ
Τράπεζα Θεμάτων Γυμνασίου - Λυκείου (mathematica.gr)
Διαγωνίσματα
2008 από Κώστα Τηλέγραφο
2008 από Χρήστο Καρδάση
2009 από Χρήστο Καρδάση
2009 Ι από Θωμά Ραϊκόφτσαλη
2009 ΙΙ από Θωμά Ραϊκόφτσαλη
2009 από Σπύρο Καπελλίδη
2010 από xgastone
2010 από Θωμά Ραϊκόφτσαλη (+ μιγαδικοί)
τεστ 2010 από Νίκο Μαυρογιάννη
2010 από Νίκο Μαυρογιάννη
2011 από Κώστα Σερίφη
2011 από Βασίλη Κακαβα (+ μιγαδικοί)
2011 από wavelet
2011 από Βασίλη Κακαβα
2011 από Βασίλη Στεφανίδη
2011 από wavelet
2011 από Βασίλη Στεφανίδη
2011 από Σπύρο Καπελλίδη (+ μιγαδικοί)
2011 από KARKAR
2011 από Νίκο Μαυρογιάννη
2012 από Γιώργο Τσικαλουδάκη
2012 από Νίκο Μαυρογιάννη
τεστ 2012 από erxmer (+ μιγαδικοί)
2012 από Χρήστο Καρδάση (+ μιγαδικοί)
2012 από Βασίλη Στεφανίδη
2013 από Νίκο Αλεξανδρόπουλο (+ μιγαδικοί)
Φυλλάδια πριν την Γ'
προαπαιτούμενες γνώσεις για τα μαθηματικά γ' λυκείου (συζήτηση)
χρήσιμες γνώσεις μαθηματικών του Ιγνάτιου Ιωαννίδη
επαναληπτικό φυλλάδιο α΄β΄ λυκείου για γ΄λυκείου από polysot
πριν τη γ λυκείου – τυπολόγιο μαθηματικών από Μίλτο Παπαγρηγοράκη
30 απαραίτητες ανισώσεις - εξισώσεις από Δημήτρη Μυρογιάννη
Ερωτήσεις για πεδίο ορισμού, σύνολο τιμών, πράξεις συναρτήσεων
συναρτήσεις 01 από Θωμά Ραϊκόφτσαλη
ίσες συναρτήσεις από polysot
απορία από Maria Nikolaou
περιορισμοί συνάρτησης από Κώστα Χαροκόπο
σωστό ή λάθος? από Linardatos
ερώτηση από Eukleidis
ισότητα συναρτήσεων από Γιώργο Απόκη
η σχέση f(x)g(x)=0 από Ardid
ανισοτική σχέση με συνάρτηση από Ardid
απορίες για το πεδίο ορισμού από Ardid
επί συναρτήσεις από Σπύρο Καπελλίδη (θεωρητική)
πεδίο ορισμού από Θωμά Ποδηματά
2 ερωτήσεις για τα μαθηματικά κατεύθυνσης από Δημήτρη Κατούνη
Περιοδική





Πεδίο ορισμού










Συμμετρίες




Σύνολο τιμών


![\displaystyle{f(x) =\frac{x^{2}-2x+\lambda }{x^{2}+2x+\lambda }, f ( A_{f} ) =\left [\frac{1}{3} , 3\right],\lambda>1? } \displaystyle{f(x) =\frac{x^{2}-2x+\lambda }{x^{2}+2x+\lambda }, f ( A_{f} ) =\left [\frac{1}{3} , 3\right],\lambda>1? }](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/82a0828aca9f81712646e0f44ad81437.png)
![\displaystyle{f(x) = \frac{{x^2 - \lambda x + 1}}{{x^2 + x + 1}},f ( A_{f} )=[-3,3],\lambda=?} \displaystyle{f(x) = \frac{{x^2 - \lambda x + 1}}{{x^2 + x + 1}},f ( A_{f} )=[-3,3],\lambda=?}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/821f0953f08ae8c07b20617cc5518ad6.png)



![\displaystyle{f(x) =\frac{x^2 - \mu x + 4}{x^2 - 2x + 4}}, f ( A_{f} ) =\left [ -1, \frac{5}{3}\right],\mu =? } \displaystyle{f(x) =\frac{x^2 - \mu x + 4}{x^2 - 2x + 4}}, f ( A_{f} ) =\left [ -1, \frac{5}{3}\right],\mu =? }](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/5d8f2abf317f562186cc48e20936424d.png)
![\displaystyle{f(x) = \frac{x^2 + ax + b}{x^2 + 2x + 3}}, ( A_{f} ) =[-5,4],a^2 + b^2=?} \displaystyle{f(x) = \frac{x^2 + ax + b}{x^2 + 2x + 3}}, ( A_{f} ) =[-5,4],a^2 + b^2=?}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/c53362f21db7d631bfd0f35fc454ee33.png)

Τιμή συνάρτησης





Πράξεις συναρτήσεων
νδο



νδο


νδο
![\displaystyle{ \exists a>0 : a[f(\frac{9}{a})-2011a^{2}]>26} \displaystyle{ \exists a>0 : a[f(\frac{9}{a})-2011a^{2}]>26}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/b6dd338066bc6f1d1d5a767115404ef5.png)


Δεν υπάρχει συνάρτηση













![\displaystyle{f(ax+b)-f\left(\frac {1}{x}\right)=x^2+1, b \ge a-1 \ge 0,x \in [-1,1]-\{0\}} \displaystyle{f(ax+b)-f\left(\frac {1}{x}\right)=x^2+1, b \ge a-1 \ge 0,x \in [-1,1]-\{0\}}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/7158dd03c4e9b1bf83426a05f37cb0f2.png)





Συναρτησιακή δεδομένο - συναρτησιακή ζητούμενο
νδο


νδο


νδο


νδο
![\displaystyle{\frac{f(x)+f(y)+f(w)}{3}= f(\sqrt[3]{xyw})} \displaystyle{\frac{f(x)+f(y)+f(w)}{3}= f(\sqrt[3]{xyw})}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/c3a8de6c741a94f00d5887ced3e024ca.png)

νδο


νδο


νδο


νδο


νδο


νδο


Συναρτησιακή εξίσωση - εύρεση συνάρτησης














![\displaystyle{f(x) = x[f(-x) - 1]} \displaystyle{f(x) = x[f(-x) - 1]}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/2afb71cddbcc6bdc43ca6c909dcfb397.png)







































Συναρτησιακή εξίσωση - υπολογισμός τιμής








![\displaystyle{f(x+y)+f(x-y) =2[f(x)+f(y)],f(1)=1} \displaystyle{f(x+y)+f(x-y) =2[f(x)+f(y)],f(1)=1}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/6385fe157409259d00d601cbfd0bd69d.png)




















Συναρτησιακή εξίσωση με ερωτήματα




Συναρτησιακή εξίσωση - περίεργη


νδο




νδο


νδο

![\displaystyle{f\left(g\left(x \right) \right)=g\left(f\left(x \right) \right),2\left[f\left(g\left(x \right) \right) \right]^{4}+2=\left(g\left(x \right) \right)^{4}+g\left(x \right)^{3}} \displaystyle{f\left(g\left(x \right) \right)=g\left(f\left(x \right) \right),2\left[f\left(g\left(x \right) \right) \right]^{4}+2=\left(g\left(x \right) \right)^{4}+g\left(x \right)^{3}}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/f961f5a5d1dc98bd113473fcac864339.png)


νδο


νδο


Συναρτησιακή ανίσωση






![\displaystyle{\left| {f(x) - f(y)} \right| \ge \left| {x^2 \ln x - y^2 \ln y} \right|,x,y \in \left[ {1,e} \right]} \displaystyle{\left| {f(x) - f(y)} \right| \ge \left| {x^2 \ln x - y^2 \ln y} \right|,x,y \in \left[ {1,e} \right]}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/59dfcc973ccf77e804f4fc395fbd244c.png)







Ερωτήσεις για σύνθεση
Εικασίες Νο 1 , Νο 2 , Νο 3 , Νο 4 , Νο 5 , Νο 6 από Ανδρέα Πούλο
αν fog 1-1, τότε f 1-1; από Γιώργο Τσικαλουδάκη
σύνθεση και πράξεις συναρτήσεων από maths-!!!
Σύνθεση συναρτήσεων












![\displaystyle{f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c}
{2,x \in \left[ {0,1} \right]} \\
{1,x \in \left( { - \infty ,0} \right) \cup \left( {1, + \infty } \right)} \\
\end{array}} \right}, f(x^2 ) , f(1 - x) =?} \displaystyle{f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c}
{2,x \in \left[ {0,1} \right]} \\
{1,x \in \left( { - \infty ,0} \right) \cup \left( {1, + \infty } \right)} \\
\end{array}} \right}, f(x^2 ) , f(1 - x) =?}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/5e37d987148579fa0007e0c5302546cc.png)




νδο






![\displaystyle{f(x)=2x^2-1 , x\in[-1,1],g(x)=4x^3-3x , x\in[-1,1],f \circ g=? , g\circ f=?} \displaystyle{f(x)=2x^2-1 , x\in[-1,1],g(x)=4x^3-3x , x\in[-1,1],f \circ g=? , g\circ f=?}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/85f3ebd628d82062bfbd75a7b2b3f810.png)

Ερωτήσεις για 1-1 και αντίστροφη
αντίστροφη συνάρτηση από ioakim
ερώτηση στις 1-1 από gurgagr
απορία σε συνάρτηση 1 - 1 από michael
απορία σε άσκηση συναρτήσεων από mixalis_i
είναι Σ ή Λ η παρακάτω πρόταση από Κώστα Τηλέγραφο
ερωτήσεις μαθητών από Κώστα Τηλέγραφο
συνάρτηση από το (α,β) στο R από Γιώργο Απόκη
ερώτηση σωστό λάθος από pito
ερώτηση από Eukleidis
δίκλαδη συνάρτηση 1 - 1 από mixalis_i
μονοτονία και αντίστροφη συνάρτηση από Χρήστο Κανάβη (pana1333)
απορία στα σημεία τομής f και αντίστροφης από Sifis
αντίστροφη συνάρτηση από Γιάννη Στάμου (propaid)
2 απορίες από FERMA
αγγελία από Νίκο Αλεξανδρόπουλο (ενελεκτική μη γραμμική)
ερώτηση στην αντίστροφη από Αγησίλαος
Δεν υπάρχει 1-1 συνάρτηση

















Συναρτησιακή εξίσωση - εύρεση 1-1 συνάρτησης














Συναρτησιακή εξίσωση με ερωτήματα με 1-1





















1-1 συνάρτηση


1-1 από Βασίλη Μαυροφρύδη (mathxl) (σε μοναδικό διάστημα)





νδο
![\displaystyle{\exists x_1 ,x_2 \in [0,2]:2f(x_1 ) - f(x_2 ) < 1} \displaystyle{\exists x_1 ,x_2 \in [0,2]:2f(x_1 ) - f(x_2 ) < 1}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/47e0dab6976408d747f730dcd3e361c3.png)











νδο


περιττή και αντιστρέψιμη από gian7 (η αντίστροφη περιττής είναι περιττή)
Σύνολο τιμών σε συναρτησιακή















Αντίστροφη συνάρτηση
απάντηση Α. Πετράκη στα όσα γράφτηκαν στο τεύχος 69 του Ευκλ από Βασίλη Μαυροφρύδη (mathxl)














![\displaystyle{f^{-1}\bigl({\alpha\,x^5-\beta\,x^3}\bigr)\leq{x}\leq{f^{-1}\bigl({\alpha\,x^4+3x-4\beta+6}\bigr)}, f\left[1,2\right]=\left[-\frac{3}{2},24\right],f \uparrow} \displaystyle{f^{-1}\bigl({\alpha\,x^5-\beta\,x^3}\bigr)\leq{x}\leq{f^{-1}\bigl({\alpha\,x^4+3x-4\beta+6}\bigr)}, f\left[1,2\right]=\left[-\frac{3}{2},24\right],f \uparrow}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/cee34b159c6d1457516a8f73ddf34659.png)











εύρεση της f ^ {-1} (x) από stuart clark (τύπος αντίστροφης τριτοβάθμιας)




![\displaystyle{f(x)=\left\{\begin{matrix}
x^2-2x+3& ,x\in(-\infty ,1] & \\
3-x & ,x\in (1,+\infty) &
\end{matrix}\right}} \displaystyle{f(x)=\left\{\begin{matrix}
x^2-2x+3& ,x\in(-\infty ,1] & \\
3-x & ,x\in (1,+\infty) &
\end{matrix}\right}}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/c5ad415beaa752d7b3129f22c22525ca.png)



Δεν υπάρχει μονότονη συνάρτηση





Μονοτονία συνάρτησης με γνωστό τύπο


Μονοτονία συνάρτησης με άγνωστο τύπο
νδο









νδο




νδο


νδο


Ερωτήσεις για μονοτονία ακρότατα
μονοτονία από exdx
προβληματισμός στον ορισμό της μονοτονίας από Λευτέρη Πρωτοπαπά
ερώτηση από Νίκο Αποστολάκη
ερώτηση (σωστό - λάθος) από christodoulou
απορία σε συνάρτηση 1 - 1 από michael
ρίζα της f(x)=x από Παναγιώτη Γκριμπαβιώτη
ερωτήσεις σωστό λάθος από pito
Σ - Λ: μονοτονία και ένωση διαστημάτων από Μάκη Χατζόπουλο
σωστό ή λάθος? από Eukleidis
2 απορίες από FERMA
Ακρότατα συνάρτησης με γνωστό τύπο
















Ακρότατα συνάρτησης με άγνωστο τύπο





νδο


Θεωρητικές ασκήσεις σε μονοτονία 1-1
περιοδική συνάρτηση από Αναστάσιο Κοτρώνη
μήκος χορδής από Χρήστο Κυριαζή (chris_gatos)
σύνθεση και μονοτονία από Θωμά Ραϊκόφτσαλη (*)
σύντομη με γνησίως αύξουσα από Νίκο Μαυρογιάννη
άρτια - περιττή από Κωνσταντίνα Κυριακοπούλου
συνέχεια - μήκος χορδής από Χρήστο Καρδάση
συνάρτηση συνεχής και 1-1 από Παύλο Διαμαντή
3Γ- ελάχιστο συνάρτησης από Αντώνη Κυριακόπουλο
γνησίως μονότονη συνάρτηση από Σπύρο Καπελλίδη
μονοτονία σύνθεση από Γιώργο Τσικαλουδάκη
1-1, επί και διαγραψιμότητα από Δημήτρη Σκουτέρη
τοπικό μέγιστο σε δύο σημεία διαστήματος από Χρήστο Κυριαζή (chris_gatos)
μονότονη και περιοδική = σταθερή από Νίκο Ζανταρίδη
περιττή συνάρτηση και ακρότατα από Νίκο Ζανταρίδη
ταυτοτική στους ρητούς; ταυτοτική και στους πραγματικούς από Νίκο Ζανταρίδη
άνω φραγμένη και προσθετική; από Νίκο Ζανταρίδη
διπλή ύπαρξη από Ροδόλφο Μπόρη
τη μια επί, την άλλη 1-1 από socrates
άσκηση - συνέχεια από wavelet
Επίλυση εξίσωσης με γνωστό τύπο






![\displaystyle{8x^{3}-4\sqrt[3]{8x+15}-15 = 0} \displaystyle{8x^{3}-4\sqrt[3]{8x+15}-15 = 0}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/8b21697f7931beef950f6eefd2951487.png)




![\dipslaystyle{2\sqrt[3]{2y-1}=y^3+1} \dipslaystyle{2\sqrt[3]{2y-1}=y^3+1}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/4108672103086d187a06756af3ac0e9f.png)

Επίλυση εξίσωσης με άγνωστο τύπο






Επίλυση ανίσωσης με γνωστό τύπο






Επίλυση ανίσωσης με άγνωστο τύπο










Απόδειξη ανισότητας με γνωστό τύπο




Ύπαρξη ρίζας με μονοτονία
νδο η εξίσωση


νδο η εξίσωση


νδο η εξίσωση


νδο



Συναρτησιακή με χρήση ορίου





νδο





Ερωτήσεις στα όρια
ερωτήσεις μαθηματικών από solon28
υπολογισμός ορίου από Χρήστο Κυριαζή (chris_gatos) (εδώ)
επισημάνσεις στη θεωρία των ορίων από Στέλιο Μαρίνη
Σ - Λ από Βασίλη Μαυροφρύδη (mathxl)
απορία σε όριο από tsalikdimd
το γνωστό ( ?? ) όριο sinx/x από Linardatos
ένα όριο από Νίκο Μαυρογιάννη
βρες τήν συνάρτηση από nonlinear
απορία σε ερώτηση σωστού λάθους από Γιάννη Στάμου (propaid)
κριτήριο παρεμβολής στο άπειρο από Γιώργο Ασημακόπουλο (εδώ)
υπάρχουν τέτοιες συναρτήσεις h,g; από epameinondas
ερωτήσεις μαθητών από Κώστα Τηλέγραφο
κυκλικές αποδείξεις από Κώστα Αθανασιάδη
όριο σύνθετης από Πέτρο Χρονόπουλο (Μαθηματικός)
αντίστροφα θεωρημάτων από pito
απορίες για το πεδίο ορισμού από Ardid
μια διευκρίνηση από Christiano
που είναι το λάθος; από Χρήστο Κανάβη (pana1333)
όριο στο άπειρο από margk
απροσδιοριστίες από mixalis_i
όρια από Αντώνη Νασιούλα
όριο και συνέχεια σύνθετης από dennys
σωστό - λάθος στα όρια από Κώστα Αθανασιάδη (kost65)
απορία στο κριτήριο παρεμβολής από Γιώργο Απόκη
απορία από pito
απορία σε όρια από Γιώργο Απόκη
2 ερωτήσεις για τα μαθηματικά κατεύθυνσης από Δημήτρη Κατούνη
όριο σύνθετης από orestisgotsis
μια απορία στα όρια από akis15
ερώτηση από miltos
Όρια ασυνήθιστα
νδο


νδο










Όρια χωρίς δεδομένα


Όριο αντίστροφης




















Δίνεται συναρτησιακή, ζητείται όριο













![\displaystyle{(f\circ g)=\sqrt[3]{5}\left|x-3 \right|^{\frac{2}{3}}, g(x)\geq 0} \displaystyle{(f\circ g)=\sqrt[3]{5}\left|x-3 \right|^{\frac{2}{3}}, g(x)\geq 0}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/7234a7c1f22437a86bfa8ee3894a5e26.png)



















Δίνεται όριο, ζητείται όριο, θεωρητικές





![\displaystyle{f(x) \ge 0\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\,g(x) \ge 0,\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} [f(x) + g(x)] = 0\,} \displaystyle{f(x) \ge 0\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\,g(x) \ge 0,\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} [f(x) + g(x)] = 0\,}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/a4a1ddce8258459f30602743c67e93e0.png)




![\displaystyle{f(x),g(x)\geq 1,\lim_{x\rightarrow x_{o}}[f^{3}(x)+g^{3}(x)]=2} \displaystyle{f(x),g(x)\geq 1,\lim_{x\rightarrow x_{o}}[f^{3}(x)+g^{3}(x)]=2}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/b5deaee5e8c6bffc79cc70fd8d945686.png)

![\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0 } \left[ {\max \left\{ {f(x),g(x)} \right\}} \right] = \max \left\{ {l,m} \right\},
\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0 } \left[ {\min \left\{ {f(x),g(x)} \right\}} \right] = \min \left\{ {l,m} \right\}} \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0 } \left[ {\max \left\{ {f(x),g(x)} \right\}} \right] = \max \left\{ {l,m} \right\},
\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0 } \left[ {\min \left\{ {f(x),g(x)} \right\}} \right] = \min \left\{ {l,m} \right\}}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/5cbdb046ddc38dc1168481e47b6cfa4c.png)





Δίνεται όριο, ζητείται όριο



![\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left[ {2f\left( x \right) - f\left( { - x} \right)} \right] = + \infty} \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left[ {2f\left( x \right) - f\left( { - x} \right)} \right] = + \infty}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/c05ed7d3b811cebc75352c6ebdc48ba0.png)


![\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty }\left[\frac{1}{x^{2}} f\left(\frac{2}{x} \right) \right] } \displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty }\left[\frac{1}{x^{2}} f\left(\frac{2}{x} \right) \right] }](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/b70279ed01bbd82ccce9c91e4cb54f96.png)
![\displaystyle { \lim_{x\rightarrow 0}\left[x^{2} f\left(x \right) \right]=1 } \displaystyle { \lim_{x\rightarrow 0}\left[x^{2} f\left(x \right) \right]=1 }](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/3c7ecfe3627c85f7415300e7b272ca10.png)



![\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left[ {xf(x) - 2g(x)} \right] = 3,\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left[ {f(x) - \sqrt {1 + 4x} g(x)} \right] = 5} \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left[ {xf(x) - 2g(x)} \right] = 3,\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left[ {f(x) - \sqrt {1 + 4x} g(x)} \right] = 5}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/cf04eff80f994f202abec831d5cba81a.png)



![\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {e^{f\left( x \right)} - f\left( x \right)} \right] = 1} \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {e^{f\left( x \right)} - f\left( x \right)} \right] = 1}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/097cc5cfb8516f465cb58f8b5f2c4e5f.png)

















![\displaystyle \lim_{x\rightarrow 3}[f(x)+2f(6-x)]=3 \displaystyle \lim_{x\rightarrow 3}[f(x)+2f(6-x)]=3](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/fa247367045fec97f357a9a5c369f848.png)
Υπολογισμός παραμέτρων σε ισότητα ανισότητα χρησιμοποιώντας όρια








Όρια σε πραγματικό


![\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt[k]{x} - 1}}{{x - 1}} k \in {N^*},\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{(1 - \sqrt x )(1 - \sqrt[3]{x})...(1 - \sqrt[{100}]{x})}}{{{{(1 - x)}^{99}}}},\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2}} \frac{{\sqrt[{10}]{{\eta \mu x}} - 1}}{{\sigma \upsilon {\nu ^2}x}}} \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt[k]{x} - 1}}{{x - 1}} k \in {N^*},\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{(1 - \sqrt x )(1 - \sqrt[3]{x})...(1 - \sqrt[{100}]{x})}}{{{{(1 - x)}^{99}}}},\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2}} \frac{{\sqrt[{10}]{{\eta \mu x}} - 1}}{{\sigma \upsilon {\nu ^2}x}}}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/aa9983b8e19b65c92f95054397b2e3e3.png)



![\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt[3]{x+8}-2}{x}} \displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt[3]{x+8}-2}{x}}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/4e82ad836eceaf3c2ebd5bfa89d177b7.png)





![\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2}} \left[ {\left( {\varepsilon \varphi x - 1} \right)\left( {1 - \varepsilon \varphi \frac{x}{2}} \right)} \right]} \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2}} \left[ {\left( {\varepsilon \varphi x - 1} \right)\left( {1 - \varepsilon \varphi \frac{x}{2}} \right)} \right]}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/7c13d9c8854db9cb8e38b34b279c5194.png)





![\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 1}\frac{(1-\sqrt{x})(1-\sqrt[3]{x})(1-\sqrt[4]{x})...(1-\sqrt[\nu ]{x})}{(1-x)^{\nu -1}}, \nu \geq 2} \displaystyle{\lim_{x\rightarrow 1}\frac{(1-\sqrt{x})(1-\sqrt[3]{x})(1-\sqrt[4]{x})...(1-\sqrt[\nu ]{x})}{(1-x)^{\nu -1}}, \nu \geq 2}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/fac32cc3e338a1bcaf75d87f2a3148b6.png)







![\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt[3]{{x + \sqrt[4]{x}}}}}{{\sqrt[4]{{x + \sqrt[3]{x}}}}}} \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt[3]{{x + \sqrt[4]{x}}}}}{{\sqrt[4]{{x + \sqrt[3]{x}}}}}}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/f84d07b0b8012d50b05abce6458d4317.png)





![\displaystyle\lim_{x \to 7}\frac{\sqrt{x+2}-\sqrt[3]{x+20}}{\sqrt[4]{x+9}-2} \displaystyle\lim_{x \to 7}\frac{\sqrt{x+2}-\sqrt[3]{x+20}}{\sqrt[4]{x+9}-2}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/5a888cd8e6903daf52282013bbeaea26.png)










![\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{(1 - x)(1 - {x^2}) \ldots (1 - {x^{2n}})}}{{{{[(1 - x)(1 - {x^2})(1 - {x^3}) \ldots (1 - {x^n})]}^2}}},n \in {N^ * }} \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{(1 - x)(1 - {x^2}) \ldots (1 - {x^{2n}})}}{{{{[(1 - x)(1 - {x^2})(1 - {x^3}) \ldots (1 - {x^n})]}^2}}},n \in {N^ * }}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/a77312843513c0f2b21ca181300e509a.png)
Όρια με τον περιορισμό χωρίς de l' Hospital


















![\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{cosx}-\sqrt[3]{cosx}}{1-cos^2x}} \displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{cosx}-\sqrt[3]{cosx}}{1-cos^2x}}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/3d31f6e41fb95b426af02c1e31796689.png)








![\displaystyle\lim_{x \to 7}\frac{\sqrt{x+2}-\sqrt[3]{x+20}}{\sqrt[4]{x+9}-2} \displaystyle\lim_{x \to 7}\frac{\sqrt{x+2}-\sqrt[3]{x+20}}{\sqrt[4]{x+9}-2}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/5a888cd8e6903daf52282013bbeaea26.png)










Όρια στο άπειρο



![\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\alpha + \eta \mu [\ln (x + \beta )]}}{{\alpha + \eta \mu (\ln x)}},\alpha \notin \left[ { - 1,1} \right] \displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\alpha + \eta \mu [\ln (x + \beta )]}}{{\alpha + \eta \mu (\ln x)}},\alpha \notin \left[ { - 1,1} \right]](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/060cffa298024ee7310cf8f7fd80a9b7.png)
![\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {x\left( {\sqrt {{x^2} + 1} - \sqrt[3]{{{x^3} + 1}}} \right)} \right] \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {x\left( {\sqrt {{x^2} + 1} - \sqrt[3]{{{x^3} + 1}}} \right)} \right]](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/fc24851b4fce0f5cd77cf38871d1c3c5.png)










![\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {\left( {5x^3 \eta \mu \left( {\frac{2}{x}} \right) + x^2 + x} \right) \left( {\sqrt[3]{{x^3 + 1}} - x} \right)} \right]} \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {\left( {5x^3 \eta \mu \left( {\frac{2}{x}} \right) + x^2 + x} \right) \left( {\sqrt[3]{{x^3 + 1}} - x} \right)} \right]}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/ace77bbab7d3b9adf9442f1015acb89a.png)











![\displaystyle{\lim_{x\to +\infty}[\sqrt{x^{2}+3x}+\sqrt{4x^{2}+5-(ax+b)]=0,a\ne 0,a,b\in R} \displaystyle{\lim_{x\to +\infty}[\sqrt{x^{2}+3x}+\sqrt{4x^{2}+5-(ax+b)]=0,a\ne 0,a,b\in R}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/6862818864bb61dad10fa9bf252cadc9.png)


![\displaystyle{\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left\{ {{x}^{\frac{\lambda }{3}}}\left[ {{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{\frac{1}{3}}}-{{x}^{\frac{2}{3}}} \right] \right\}}} \displaystyle{\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left\{ {{x}^{\frac{\lambda }{3}}}\left[ {{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{\frac{1}{3}}}-{{x}^{\frac{2}{3}}} \right] \right\}}}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/ba55b56189574a78d67e0d0547fcfcca.png)

![\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {{x^2}\left( {a\sigma \upsilon \nu \frac{1}{x} - b\sigma \upsilon \nu \frac{2}{x}} \right)} \right] = \frac{3}{2}} \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {{x^2}\left( {a\sigma \upsilon \nu \frac{1}{x} - b\sigma \upsilon \nu \frac{2}{x}} \right)} \right] = \frac{3}{2}}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/77588496f71a5eb1eeb350f39a5d1986.png)
![\displaystyle{\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\sqrt[n]{2{{\sin }^{2}}\frac{{{n}^{1000}}}{n+1}+{{\cos }^{2}}\frac{{{n}^{1000}}}{n+1}}} \displaystyle{\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\sqrt[n]{2{{\sin }^{2}}\frac{{{n}^{1000}}}{n+1}+{{\cos }^{2}}\frac{{{n}^{1000}}}{n+1}}}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/4cc202bcf173f5cb7cfe1a9ab11f10de.png)

Όρια με de l' Hospital
Μεταφέρθηκαν όλα στο Bulletin Διαφορικός Λογισμός
Δίνεται συνέχεια σε σημείο, ζητείται συνέχεια αλλού




































Συνέχεια συνάρτησης
![\displaystyle{f^{-1}(x)=\frac{1}{f(x)},x\in\left[\frac{1}{\alpha},\alpha\right]} \displaystyle{f^{-1}(x)=\frac{1}{f(x)},x\in\left[\frac{1}{\alpha},\alpha\right]}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/4c1abf2c09bf1b815c6f63cdc53b4b08.png)



![\displaystyle{f(x) = \left\{ {\begin{matrix}
{\frac{{\sqrt {1 - \cos \left( {{x^2}} \right)} }}{{1 - \cos (x)}}} & {,x \in \left[ { - \sqrt {\frac{\pi }{2}} ,\sqrt {\frac{\pi }{2}} } \right]- \left\{ 0 \right\}} \\
a & {,x = 0} \\
\end{matrix}} \right.} \displaystyle{f(x) = \left\{ {\begin{matrix}
{\frac{{\sqrt {1 - \cos \left( {{x^2}} \right)} }}{{1 - \cos (x)}}} & {,x \in \left[ { - \sqrt {\frac{\pi }{2}} ,\sqrt {\frac{\pi }{2}} } \right]- \left\{ 0 \right\}} \\
a & {,x = 0} \\
\end{matrix}} \right.}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/7b9976c7e699cbe0d9b392a7581f4057.png)












![\displaystyle{ f:\left[ {0,1} \right]\to Q,f\left( \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}} \displaystyle{ f:\left[ {0,1} \right]\to Q,f\left( \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/2bb7a42a82c32521111a2e62f7ff30d8.png)










Ερωτήσεις στην συνέχεια
συνεχής συνάρτηση - μια απλή ερώτηση από Κώστα Σερίφη
σωστό λάθος από Σπύρο Καρδαμίτση
αντίστροφη από coheNakatos
συνεχής συνάρτηση από Χρήστο Κυριαζή (chris_gatos)
πόσες μονάδες χάνει η παρακάτω λύση από Κώστα Τηλέγραφο
σωστό λάθος από Γιώργο Τσικαλουδάκη
σύνθεση ασυνεχών συναρτήσεων από Ανδρέα Πούλο
είναι συνεχής; από Θωμά Ραϊκόφτσαλη
συνέχεια από sxima
υπάρχει αντιπαράδειγμα για την fofof; από Ανδρέα Πούλο
αναζήτηση ασυνεχών συναρτήσεων από teo
συνεχής συνάρτηση από Χρήστο Κυριαζή (chris_gatos)
κάθε τιμή δυο φορές από Pla.pa.s
συνέχεια στα άκρα διαστήματος από Θωμά Ποδηματά
κι άλλο αυτονόητο από Βασίλη Κακαβα
παντού ασυνεχής από Σπύρο Καπελλίδη (εδώ, εδώ, εδώ)
όριο και συνέχεια σύνθετης από dennys
συνέχεια και αντίστροφη συνάρτηση (απορία) από djuser1911
Σ-Λ, ακατάλληλο για ανήλικους από Μπάμπη Στεργίου
σωστό - λάθος στη συνέχεια από nik21
2 ερωτήσεις για τα μαθηματικά κατεύθυνσης από Δημήτρη Κατούνη
Θεωρητικές στην συνέχεια
συνέχεια συνάρτησης από Χρήστο Κυριαζή (chris_gatos)
μια με συνέχεια ρίζας από Νίκο Μαυρογιάννη
υπάρχουν; πραγματικές συναρτήσεις ΙΙ από Απόστόλη Παπαδογιαννάκη
μέγιστο - ελάχιστο από Κώστα Σερίφη
σταθερή συνάρτηση από Βασίλη Μαυροφρύδη (mathxl)
συνεχής και όχι 1-1 από Βασίλη Μαυροφρύδη (mathxl)
συνεχής συνάρτηση από Βασίλη Μαυροφρύδη (mathxl)
συνέχεια ρίζας από Νίκο Μαυρογιάννη
απλή εκφώνηση από gemar99
συνεχής συνάρτηση από Χρήστο Ντάβα
σταθερή συνάρτηση από Σπύρο Καπελλίδη (max)
διάστημα κλειστό και φραγμένο από Σπύρο Καπελλίδη
ας τα προσέξουμε από Μπάμπη Στεργίου
αντίστροφη από coheNakatos
συνάρτηση δυο προς ένα από teo
μέγιστη τιμή συνάρτησης από Σπύρο Καρδαμίτση
συνεχής κ 1-1 είναι γν. μονότονη από Σήφη Ξυδάκη
υπάρχει; από Χρήστο Κυριαζή (chris_gatos)
συνεχείς συναρτήσεις - ακριβώς 2 ρίζες από Mulder
τοπικό μέγιστο σε δύο σημεία διαστήματος από Χρήστο Κυριαζή (chris_gatos)
συναρτήσεις από Σπύρο Καπελλίδη
όριο από socrates
1-1 και επί από Σπύρο Καπελλίδη
ύπαρξη μονοτονίας από Pla.pa.s
συνάρτηση συνεχής και επί από Σπύρο Καπελλίδη
λάθος ζητούμενο ή λάθος άσκηση από Βασίλη Κακαβα
συνεχής συνάρτηση και μονοτονία από Μπάμπη Στεργίου
ένα αυτονόητο από Βασίλη Κακαβα και Μπάμπη Στεργίου
ελάχιστο στο R από Σπύρο Καρδαμίτση
κάθε τιμή ακριβώς δύο φορές από socrates
έχει ελάχιστο δεν είναι 1-1 από Βασίλη Κακαβα
συνέχεια και αντίστροφη συνάρτηση (απορία) από djuser1911
συνεχής συνάρτηση από Σπύρο Καπελλίδη (συνάρτηση min, max)
όχι διάστημα,αλλά ένωση από Φωτεινή
μία ωραία με σταθερό σημείο από chris_gatos
Δεν υπάρχει συνεχής συνάρτηση

![\displaystyle{f\left( x \right) + f\left( {x^2 } \right) = x,x \in \left[ {0,1} \right]} \displaystyle{f\left( x \right) + f\left( {x^2 } \right) = x,x \in \left[ {0,1} \right]}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/83bed43ff1758a07df7eaa05af4cb824.png)

![\displaystyle{f^{2}(x)-2f(x)\sigma \upsilon \nu [f(x)]+1=0} \displaystyle{f^{2}(x)-2f(x)\sigma \upsilon \nu [f(x)]+1=0}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/03dd89a8557c868bc818537ec9931ace.png)


![\displaystyle{[f(x)]^3+af(x)=x, a<0} \displaystyle{[f(x)]^3+af(x)=x, a<0}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/de2f6d3e9f3e7d3012ec77502f88905a.png)







η εξίσωση



![\displaystyle{x^a \left(f\left(\frac {2x+3}{x+1}\right)-f\left(\frac {2x+1}{x}\right)\right)=2011, x>0,a \in (0,1]} \displaystyle{x^a \left(f\left(\frac {2x+3}{x+1}\right)-f\left(\frac {2x+1}{x}\right)\right)=2011, x>0,a \in (0,1]}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/d946399e7f3ecd7f2a9a1ae4c3e36124.png)

![\displaystyle{f(0) = 0,f(a) = a,f^3 (x) - f(x) = x^2 - x, x \in [0,a]} \displaystyle{f(0) = 0,f(a) = a,f^3 (x) - f(x) = x^2 - x, x \in [0,a]}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/4b1bebcc4b12434a893fcd8039ba639d.png)



![\displaystyle{f(f(x))<f(x),x \in [0,1] } \displaystyle{f(f(x))<f(x),x \in [0,1] }](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/aad711e552515a0446e24a4c1b275ba0.png)
Εύρεση συνεχούς συνάρτησης





![\displaystyle{\left| {f(x) - f(y)} \right| \ge \left| {x - y} \right|,x,f(x)\in [0,1]} \displaystyle{\left| {f(x) - f(y)} \right| \ge \left| {x - y} \right|,x,f(x)\in [0,1]}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/e1415fd6812ee94d183a32c759651a8a.png)
![\displaystyle{\left| {f(x) - f(y)} \right| \ge \left| {{2^x} - {2^y}} \right|,x,f(x)\in [0,1]} \displaystyle{\left| {f(x) - f(y)} \right| \ge \left| {{2^x} - {2^y}} \right|,x,f(x)\in [0,1]}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/921a5bd711f55ad7d4eda55fe1aab6f4.png)










![\displaystyle{f^{2}(x)-2f(x)\sigma \upsilon \nu [f(x)]+1=0} \displaystyle{f^{2}(x)-2f(x)\sigma \upsilon \nu [f(x)]+1=0}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/03dd89a8557c868bc818537ec9931ace.png)














![\displaystyle{g(x)=\frac{1}{3}g(x^{2})+\displastyle\frac{1}{4}g(1-x^{2}}),x \in [0,1]} \displaystyle{g(x)=\frac{1}{3}g(x^{2})+\displastyle\frac{1}{4}g(1-x^{2}}),x \in [0,1]}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/ce6b03318d266cbb64bf321a31eb9c4e.png)




![\displaystyle{\forall n \in N^* \wedge \forall x_1,x_2,...,x_n \in [0,1] : x_1+x_2+...+x_n=1 \Rightarrow f(x_1)+f(x_2)+...+f(x_n)=1} \displaystyle{\forall n \in N^* \wedge \forall x_1,x_2,...,x_n \in [0,1] : x_1+x_2+...+x_n=1 \Rightarrow f(x_1)+f(x_2)+...+f(x_n)=1}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/8a4d4a5716570a8233494647e64c8aef.png)




![\displaystyle{\underbrace {f\left( {f\left( {...f\left( x \right)...} \right)} \right)}_{\nu - \varphi o\rho \varepsilon \varsigma } = x, x,f(x) \in \left[ {0,1} \right],f(0)=0} \displaystyle{\underbrace {f\left( {f\left( {...f\left( x \right)...} \right)} \right)}_{\nu - \varphi o\rho \varepsilon \varsigma } = x, x,f(x) \in \left[ {0,1} \right],f(0)=0}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/38c78ff4c2a2b5eb08aec20fb655e77c.png)









![\displaystyle{f(x)+f(y)=f(f(x)+y), x,y \in [0,1] \wedge f(x)+y \in [0,1],f:[0,1] \to [0,1]} \displaystyle{f(x)+f(y)=f(f(x)+y), x,y \in [0,1] \wedge f(x)+y \in [0,1],f:[0,1] \to [0,1]}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/b74ffc183ea4ebff69b5fe05241d92eb.png)



![\displaystyle{f\left( x \right) - f\left( {\frac{x}{2}} \right) + \frac{1}{4}f\left( {\frac{x}{4}} \right) = 2x,x \in \left[ {0,1} \right]} \displaystyle{f\left( x \right) - f\left( {\frac{x}{2}} \right) + \frac{1}{4}f\left( {\frac{x}{4}} \right) = 2x,x \in \left[ {0,1} \right]}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/0f7fcfb57c33e2b7ac24d6f0e1019d28.png)





![\displaystyle{2f(x) + f(y) = 3f(\frac{2x+y}{3}),x \in [0, 1],f(0) = f(1) = 0} \displaystyle{2f(x) + f(y) = 3f(\frac{2x+y}{3}),x \in [0, 1],f(0) = f(1) = 0}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/6a66ed30dfde34a8691930c3291af318.png)








Εύρεση τιμής συνεχούς συνάρτησης


νδο
![\displaystyle{\exists a \in [2,3): f(R)= [\frac{1}{a}, a]} \displaystyle{\exists a \in [2,3): f(R)= [\frac{1}{a}, a]}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/ca16d1b9a1a715f81b43a9ced0f1e7e7.png)

![\displaystyle{f(x)\R-Q,x\in [0,1], f(0)=\sqrt{3}, f(1)=?} \displaystyle{f(x)\R-Q,x\in [0,1], f(0)=\sqrt{3}, f(1)=?}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/d757f2e28919122013ffe188b6aaceef.png)








Σύνολο τιμών συνεχούς συνάρτησης
μέγιστο - ελάχιστο από Κώστα Σερίφη (Αν μια συνεχής στο (α,β) συνάρτηση έχει όρια στα α,β ή τότε θα έχει μέγιστο ή ελάχιστο αντίστοιχα)




νδο
![\displaystyle{\exists a \in [2,3): f(R)= [\frac{1}{a}, a]} \displaystyle{\exists a \in [2,3): f(R)= [\frac{1}{a}, a]}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/ca16d1b9a1a715f81b43a9ced0f1e7e7.png)








Ερωτήσεις πάνω στα θεωρήματα συνεχών
θεώρημα Bolzano από cos70
ερώτηση Α Ψ από Μίλτο Παπαγρηγοράκη
σύνολο τιμών από Γιώργο Ασημακόπουλο
θεώρημα ενδιαμέσων τιμών και σύνολο τιμών από ma05860
ύπαρξη μονοτονίας από Pla.pa.s
επιτρέπεται η αντικατάσταση; από pito
θεώρημα μέγιστης ελάχιστης τιμής από pito
Bolzanakia από Βασίλη Ευαγγέλου
είναι τεκμηριωμένο;;; από Θωμά Ποδηματά
αληθές ή ψευδές από Σακης
απορία από Μαθηματικός
2 ερωτήσεις για τα μαθηματικά κατεύθυνσης από Δημήτρη Κατούνη
Νιοστή ρίζα
μέθοδος εύρεσης ριζικών σε ποιο διάστημα ανήκουν από Μάκη Χατζόπουλο
να αποδείξετε ότι από christodoulou
ν-ρίζα από KapioPulsar
Θεωρήματα συνεχών με γνωστό τύπο










Θεωρήματα συνεχών με πολλές τιμές


















![\displaystyle{x_{o}=\sqrt[\nu ]{x_{1}x_{2} \dots x_{\nu }}} \displaystyle{x_{o}=\sqrt[\nu ]{x_{1}x_{2} \dots x_{\nu }}}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/d416a1c12205189bf05a6a0043599bf6.png)
![\displaystyle{a,\beta \in [-1,1]:f(a)+f(\beta )=a-\beta,f:[-1,1]\rightarrow [-1,1]} \displaystyle{a,\beta \in [-1,1]:f(a)+f(\beta )=a-\beta,f:[-1,1]\rightarrow [-1,1]}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/be71d730c1046c8fc4e482cbd9dbe04a.png)


Θεωρήματα συνεχών με άγνωστο τύπο























![\left[ f^2(1) +4f(1)+34 \right]\left[ f^2(2)+5f(2)+73 \right]=2010 \left[ f^2(1) +4f(1)+34 \right]\left[ f^2(2)+5f(2)+73 \right]=2010](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/9665a5f747b1d8164abbd7c5c719551d.png)














αποδείξτε τα σχόλια του Bolzano από parmenides51















Ασκήσεις με τριώνυμα






νδο


νδο


σύνθεση συναρτήσεων από dennys

Πολυώνυμα










λογαριθμική από Γ. Τασσόπουλο (η λογαριθμική συνάρτηση δεν είναι πολυωνυμική)






Πρόβλημα
κλεμμένο περιδέραιο από Demetres
γεμίζουμε ένα ισόπλευρο με ίσους κύκλους από Μάκη Χατζόπουλο
ο οδοιπόρος (Bolzano) από John13
ορθογωνοποίηση των κύκλων από Μάκη Χατζόπουλο
συνέχεια και καθετότητα από Θωμά Ραϊκόφτσαλη
ο αυλικός και ο ευγενής από nonlinear
υπάρχει σημείο από Στάθη Κούτρα
ορειβασία από Γιώργο Απόκη
ανοιχτή ερώτηση από KARKAR
συναρτήσεις 2 από Γιώργος Κ77
υπαρξιακό σε τετράγωνο από Θάνο Μάγκο (matha)
γραφική παράσταση συνεχούς συνάρτησης από Σπύρο Καπελλίδη
συνέχεια συνάρτησης από dennys
απόδειξη ύπαρξης σημείου από Ανδρέα Πούλο
συναρτήσεις 11 από Γιώργος Κ77
συναρτήσεις 12 από Γιώργος Κ77
συναρτήσεις 13 από Γιώργος Κ77
το πρόβλημα με τις δύο τηγανίτες από Χρήστο Ντάβα
Ασκήσεις για επανάληψη
2009
θέμα (2) από Νίκο Αποστολάκη
το 3ο υποερώτημα λύνεται πιο εύκολα με θεωρία εντός σχ.ύλης; από Βασίλη Μαυροφρύδη (mathxl)
όριο στο άπειρο και κύκλος και χρόνια πολλά από Θωμά Ραϊκόφτσαλη
να βρεθεί το όριο από Κώστα Τηλέγραφο
θέμα 12 από Βασίλη Καλαμάτα
συναρτησιακές εξισώσεις από peter
f(f(x))=e^x από Σπύρο Καρδαμίτση
από τον διαγωνισμό εις μνήμην Β. Ξανθόπουλου από Χρήστο Τσιφάκη
συναρτησιακή και αντίστροφη από hsiodos
επαναληπτική (για να μην ξεχνιόμαστε) από Χρήστο Τσιφάκη
2010
άσκηση τη χρειάζομαι για διαγώνισμα sos από μαριαννα
συναρτήσεις από μαριαννα
άσκηση από μαριαννα
δύο συνεχείς συναρτήσεις από Σπύρο Καρδαμίτση
μια τουλάχιστον θετική ρίζα από Σπύρο Καρδαμίτση
γν. μονότονη και συνεχής από Σπύρο Καρδαμίτση
λογαριθμική και αντίστροφη από Σπύρο Καρδαμίτση
3ο - 4ο συνέχεια από Αντώνη Σπυριδάκη
βοήθεια σε άσκηση από BGNMK
f(x)e^f(x) = x ......ποια είναι η αντίστροφη της f ? από Μάκη Χατζόπουλο
άσκηση 3 από μαριαννα
όριο συνέχεια από Κώστα Τηλέγραφο
όρια συνέχεια από Γιώργο Τσικαλουδάκη
μάλλον ....θα γίνονταν το λάθος από Μπάμπη Στεργίου
συναρτήσεις όρια συνέχεια από Γιώργο Τσικαλουδάκη
με θέμα συνάρτηση από Vkalf
μονοτονία στο [1,+άπειρο) από rek2
όμορφη συνέχεια από Χρήστο Στραγάλη
άσκηση αντίστροφης συνάρτησης από kyriakh
αντίστροφη - όρια από christodoulou
συναρτήσεις όρια συνέχεια από Γιώργο Τσικαλουδάκη
άσκηση με 1-1, αντίστροφη και σύνθεση από Μάκη Χατζόπουλο και Σωτήρη Λουρίδα
άσκηση ορίων συνέχειας από τον Νίκο Ζανταρίδη
2011
αν η f έχει μοναδική ρίζα --> f(a)f(b)<0 από Παναγιώτη Γκριμπαβιώτη (PanosG)
συναρτήσεις (συνδυαστική) από erxmer
απορία για τη συνέχεια της αντίστροφης από Παναγιώτη Γκριμπαβιώτη
αντίστροφη σύνολο τιμών από Φωτεινή Καλδή
συναρτησιακή σχέση, αντίστροφη συνάρτηση, όρια από Λευτέρη Πρωτοπαπά
μονοτονία, αντίστροφη, όρια από Λευτέρη Πρωτοπαπά
μονοτονία εφαρμογή από Βασίλη Κακαβα
1-1 συνάρτηση από Σπύρο Καρδαμίτση
μονοτονία ανίσωση από Σπύρο Καρδαμίτση
μονότονη συνάρτηση από Δημήτρη Ιωάννου
εξίσωση με αντίστροφη συνάρτηση από Σπύρο Καρδαμίτση
συνέχεια από Christiano και Βασίλη Μαυροφρύδη (mathxl)
εξίσωση με αντίστροφη συνάρτηση από Σπύρο Καρδαμίτση
μάλλον απαιτητικά αλλά με στόχο από Βασίλη Κακαβα
ανίσωση με αντίστροφη από Σπύρο Καρδαμίτση
εξίσωση με αντίστροφη συνάρτηση από Σπύρο Καρδαμίτση
10 ερωτήματα σε εξισώσεις κι ανισώσεις από parmenides51
άσκηση από socrates
μια καλή επαναληπτική άσκηση από Χρήστο Κυριαζή (chris_gatos)
επαναληπτική από Γιώργο Απόκη
μονοτονία - αντίστροφη - όρια από wavelet
κλίση σε ... αναμονή από KARKAR
ένα αυτονόητο από Βασίλη Κακαβα και Μπάμπη Στεργίου
συναρτήσεις από erxmer
μονοτονία - αντίστροφη δικλαδικής από Παναγιώτη Γκριμπαβιώτη
εύρεση συνάρτησης στο γενικό μέρος από Μπάμπη Στεργίου
όριο και συνέχεια από Σπύρο Καρδαμίτση
λίγο απ' όλα από erxmer
υπολογισμός ορίων από pito
2012
όμορφη άσκηση από pito
εύρεση τιμής συνάρτησης - γενικό μέρος από Μπάμπη Στεργίου
μονοτονία - Θ.Bolzano από dennys
υπάρχει ξ από dennys
συνέχεια συνάρτησης - ρίζες από dennys
συνέχεια ... αρνήσεις από Μπάμπη Στεργίου
συναρτησιακή σχέση με αντίστροφη από Νίκο Κατσίπη (ΕΜΕ 2008, 24)
συναρτήσεις 19 από Γιώργος Κ77
συναρτήσεις 20 από Γιώργος Κ77
συναρτήσεις 24 από Γιώργος Κ77
Ασκήσεις με πολλά ερωτήματα για επανάληψη
2011
λίγο απ' όλα, χωρίς τα θεωρήματα της συνέχειας από Λευτέρη Πρωτοπαπά
Συνδυαστικές με μιγαδικούς
2009
επαναληπτική άσκηση από Χρήστο Τσιφάκη
συνάρτηση από tsolis
μιγαδικοί και συνέχεια σε κλειστό διάστημα από tsolis
θεώρημα Bolzano από tsolis
μια συνδυαστική άσκηση από το Γ1 από Βασίλη Παπαδάκη από Βασίλη Μαυροφρύδη (mathxl)
θέμα από διαγώνισμα από hsiodos
σταθερό πρόσημο από Σπύρο Καρδαμίτση
μιγαδικοί - συνέχεια από Σπύρο Καρδαμίτση
2010
συνδυαστική από Χρήστο Κυριαζή (chris_gatos)
επαναληπτική μέχρι συνέχεια από hsiodos
όρια από panathas13
ωραία ως...μπλόφα από Χρήστο Κυριαζή (chris_gatos)
εύρεση σημείου από erxmer
2011
συνεχείς συναρτήσεις από ZITAVITA
συναρτήσεις - μιγαδικοί από erxmer
συνδυαστικό με μιγαδικούς από Βασίλη Κακαβα
όρια και μιγαδικοί από Βασίλη Κακαβα
για να μην χαθεί από polysot
μετασυνεδριακή από Χρήστο Τσιφάκη
Αξιόλογες Συλλογές
2008
αρχεία από το παλιό mathematica_club στό pathfinder
2009
σωστό λάθος από Θωμά Ραϊκόφτσαλη
25 συνδυαστικές ασκήσεις στην ανάλυση - κεφάλαιο 1 από Μάκη Χατζόπουλο
συνέχεια σε κλειστό διάστημα από Θωμά Ραϊκόφτσαλη
όρια - συνέχεια Ε.Μ.Ε. (2002)
χρήσιμα από Νίκο Μαυρογιάννη
επαναληπτικό φυλλάδιο α΄β΄λυκείου για γ΄λυκείου από polysot
συνέπειες των ορισμών - χρήση χωρίς απόδειξη από Μπάμπη Στεργίου
2010
σύνθετα θέματα ορίων από Κωνσταντίνο Ρεκούμη (rek2)
πριν τη γ Λυκείου – τυπολόγιο μαθηματικών από Μίλτο Παπαγρηγοράκη
βιβλίο με ασκήσεις ανάλυσης γ λυκείου από Ροδόλφο Μπόρη
επανάληψη λυκειακής ύλης (πλην ορίων) από Μιχάλη Λάμπρου
αρχείο Bolzano από Θωμά Ραϊκόφτσαλη
μιγαδοοριακά συνεχόμενα δωράκια για τα Χριστούγεννα από xgastone
2011
μια συλλογή με παραμετρικά όρια από Κώστα Μαλλιάκα
συλλογή θεμάτων σε συναρτήσεις όρια συνέχεια (οργάνωση σε ένα αρχείο από parmenides51) (30 λυμένες)
2012
Κουίζ σε Συναρτήσεις, Όρια: μέρος 1ο, μέρος 2ο, μέρος 3ο του dimplak (online κουίζ)
2013
26 ασκήσεις στις συναρτήσεις από Δημήτρη Μυρογιάννη
Θ. Bolzano και ύπαρξη σημείων από Θανάση Κοπάδη
θεωρία 1ου κεφαλαίου από Δημήτρη Κοντόκωστα
2014
συναρτήσεις - λίγο από μέθοδο, λίγο από ασκήσεις από Νίκο Αλεξανδρόπουλο
όρια - λίγο από μέθοδο, λίγο από ασκήσεις από Νίκο Αλεξανδρόπουλο
Άξια Αναφοράς
2009
Το 3ο υποερώτημα λύνεται πιο εύκολα με θεωρία εντός σχ.ύλης; (ανισότητες και όρια στο άπειρο, μεταφέρονται;)
συναρτησιακή εξίσωση Cauchy από Demetres (Cauchy)
ανάλυση, θεωρητική - όχι για μαθητές (γνησίως μονότονη με πεδίο ορισμού και σύνολο τιμών το R άρα συνεχής)
απάντηση Α. Πετράκη στα όσα γράφτηκαν στο τεύχος 69 του Ευκλ από Βασίλη Μαυροφρύδη (mathxl)
αρκεί;; (πολλαπλότητα ρίζας)
σύστημα με αρκετό ενδιαφέρον (κι όμως λύνεται)
(παρόμοια εδώ , εδώ, εδώ , εδώ , εδώ , εδώ , εδώ)
εκθετική συνάρτηση και ελάχιστο (εντυπωσιακές ιδέες για ελάχιστο)
ιστορία βγαλμένη από την ... πραγματικότητα (βρείτε το λάθος)
προβληματισμός στον ορισμό της μονοτονίας (αντίστροφο ορισμού μονοτονίας) (κι εδώ)
συνέχεια και εύρεση τύπου (φυλλάδιο)
απορία στη βαθμολόγηση (περί βαθμολογίας)
1- κάποιοι συνάδελφοι φοβίζουν τους μαθητές 1 (τρόπος γραφής στα όρια με άπειρα)
όρια τριγωνομετρικών συναρτήσεων στο άπειρο (οι αποδείξεις) (πχ1 ,πχ2,πχ3, πχ.4.,πχ.5. )
απορία σχετικά με τη βαθμολόγηση (περί βαθμολογίας)
2010
ερώτηση πάνω σε ορισμό σχολ. βιβλίου (διατυπώσεις σχολικού)
ερώτηση Α Ψ (διατυπώσεις σχολικού)
πράξεις με σύνολα (πράξεις με σύνολα)
μια πρόσθεση (πράξεις με σύνολα)
ορισμός ακέραιου μέρους (ορισμός ακέραιου μέρους)
αντίστροφη (γνησίως μονότονη με πεδίο ορισμού και σύνολο τιμών το Δ άρα συνεχής)
σημαντικό ερώτημα(περι βαθμολογίας στην αλλαγή απάντησης στην σειρά ερωτημάτων)
χρησιμότητα bolzano (χρησιμότητα Bolzano)
είναι σωστή αυτή η διατύπωση σε ερώτηση Σ-Λ; (περί ΣΛ)
πόσες μονάδες χάνει η παρακάτω λύση (περί βαθμολογίας)
απορία (συνέχεια αντίστροφης) (η απόδειξη)
τελικά πόσο κάνει; διδακτικό επεισόδιο 2 (όρια αλα ΑΣΕΠ)
κριτήριο παρεμβολής στο άπειρο (κριτήριο παρεμβολής με μια ανισότητα στο άπειρο) (κι εδώ)
λογαριθμική (η λογαριθμική συνάρτηση δεν είναι πολυωνυμική)
2011
συνεχής κ 1-1 είναι γν. μονότονη (η απόδειξη)
είναι Σ ή Λ η παρακάτω πρόταση (ορισμός 1-1)
κυκλικές αποδείξεις (επιτρεπόμενο del' hospital σε τριγωνομετρικά όρια)
παράγωγοι; όχι, ευχαριστώ! (ακρότατα χωρίς παραγώγους)
όριο ναί (όριο ημχ/χ σε μοίρες) (κι εδώ)
να δειχθεί το όριο (κι όμως λύνεται)
εύρεση της f ^ {-1} (x) (τύπος αντίστροφης τριτοβάθμιας)
ισοδυναμία ορίων (χρήσιμη πρόταση)
συνέχεια (συνάρτηση max)
σύνθεση και πράξεις συναρτήσεων (δείτε γραφικά σύνθεση συναρτήσεων στο διαδίκτυο)
ακρότατα στην γεωμετρία χωρίς παραγώγους (ακρότατα χωρίς παραγώγους)
μονότονη συνάρτηση (μονοτονία αντίστροφης γνησίως αύξουσας και σημεία τομής αντίστροφων) (η απόδειξη)
ύπαρξη μονοτονίας (συνεχής με μονότονο περιορισμό της)
τιμές συνάρτησης (περί κέντρου συμμετρίας)
διευκρίνιση (περί αρνητικών σε υπόρριζο και μονού συνεπάγεται)
αντίστροφη συνάρτηση (σημεία τομής αντίστροφων συναρτήσεων)
2012
διδασκαλία πεδίου ορισμού και σύνολου τιμών με παράλληλη βοήθεια νέων τεχνολογίων από Κώστα Μάλλιακα
Άρθρα
νιοστές ρίζες, τα σύμβολα, σχετικά θέματα από Αντώνη Κυριακόπουλο
επισημάνσεις και διευκρινίσεις με αφορμή θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων από Νίκο Ιωσηφίδη (7-3-07.pdf)
ορισμός ε,δ ορίου συνάρτησης από Ροδόλφο Μπόρη
μια απλή αλλά πολύ χρήσιμη πρόταση από Αντώνη Κυριακόπουλο
μέθοδοι απόδειξης και εύρεσης στα μαθηματικά από Αντώνη Κυριακόπουλο
συναρτήσεις - χρήσιμες επισημάνσεις στις βασικές έννοιες από Αντώνη Κυριακόπουλο
απόδειξη συνεπαγωγής, η ισοδυναμία από Αντώνη Κυριακόπουλο
ποσοδείκτες, προτάσεις και θέματα του τύπου: σωστό λάθος από Αντώνη Κυριακόπουλο
εύρεση συνάρτησης από Μπάμπη Στεργίου
κυβική (τριτοβάθµια) πολυωνυµική εξίσωση του Δημήτρη Αναγνώστου (τριτοβάθμια)
Πανελλαδικές Εξετάσεις
Θέματα Εξετάσεων Μαθηματικών 1974-1983 σε word
Θέματα Εξετάσεων Μαθηματικών Δεσμών 1983-2001 σε word
Θέματα Εξετάσεων Μαθηματικών ΤΕΛ 1997, 2000, 2001 σε word και pdf
Θέματα Εξετάσεων Μαθηματικών ΤΕΕ 2000-10 σε word (Ημερησίων, Εσπερινών)
Θέματα Εξετάσεων Μαθηματικών Γενικής ΓΛ 2000-10 σε word (Ημερησίων, Εσπερινών, Προαγωγικών, Επαναληπτικών)
Θέματα Εξετάσεων Μαθηματικών Κατεύθυνσης ΓΛ 2000-10 σε word (Ημερησίων, Εσπερινών, Προαγωγικών, Επαναληπτικών)
Θέματα Εξετάσεων Μαθηματικών Ομογενών ΓΛ 2001-10 σε pdf (τα υπόλοιπα υπάρχουν στο site της ΟΕΦΕ)
Μην δημοσιεύετε ασκήσεις σε αυτό το αρχείο, εδώ θα περνάω μόνο τα links από άλλες δημοσιεύσεις.
Περιμένω τα σχόλια σας και την κριτική σας καθώς και προτάσεις πως μπορεί να βελτιωθεί το παρόν bulletin.
Τα κόκκινα γράμματα υποδηλώνουν ότι οι ασκήσεις είναι άλυτες.