Συνεχείς συναρτήσεις

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

s.kap
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2455
Εγγραφή: Τρί Δεκ 08, 2009 6:11 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Συνεχείς συναρτήσεις

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από s.kap » Δευ Οκτ 24, 2011 10:15 pm

α) Να βρεθούν οι συνεχείς συνάρτησεις f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} για τις οποίες f\left(\left|x\right|\right)\left|f(x)\right|=x^2,\ \forall x \in \mathbb{R}

β) Να βρεθούν οι συνεχείς συνάρτησεις g:\mathbb{R} \to \mathbb{R} για τις οποίες g\left(\left|x\right|\right)+\left|g(x)\right|=2\left|x\right|,\ \forall x \in \mathbb{R}


Σπύρος Καπελλίδης
Παύλος Μαραγκουδάκης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1464
Εγγραφή: Παρ Ιαν 30, 2009 1:45 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Συνεχείς συναρτήσεις

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Παύλος Μαραγκουδάκης » Τρί Οκτ 25, 2011 4:18 pm

s.kap έγραψε:α) Να βρεθούν οι συνεχείς συνάρτησεις f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} για τις οποίες f\left(\left|x\right|\right)\left|f(x)\right|=x^2,\ \forall x \in \mathbb{R}
α) Για x=0 παίρνουμε f(0)=0

Αν πάλι \rho είναι μια ρίζα της f τότε από την f\left(\left|\rho \right|\right)\left|f(\rho )\right|=\rho ^2 προκύπτει ότι \rho =0.

Η μοναδική ρίζα της f είναι το 0. Λόγω συνέχειας η f διατηρεί σταθερό πρόσημο σε καθένα από τα διαστήματα \left(-\infty,0 \right) και \left(0,+\infty \right).

Για x>0 είναι f(x)\left|f(x) \right|=x^2 οπότε f(x)>0.
Άρα f(x)=x για κάθε x\in\left(0,+\infty \right)

Για x<0 είναι f(-x)\left|f(x) \right|=x^2. Όμως f(-x)=-x.
Άρα \left| f(x)\right|=-x για κάθε x\in\left(-\infty,0 \right)
Η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο \left(-\infty, 0\right).

Άρα f(x)=x για κάθε x\in\left(-\infty,0 \right) ή f(x)=-x για κάθε x\in\left(-\infty,0 \right)

Από τα παραπάνω υπάρχουν ακριβώς δύο λύσεις: f(x)=x ή f(x)=\left| x\right|


Στάλα τη στάλα το νερό το μάρμαρο τρυπά το,
εκείνο που μισεί κανείς γυρίζει κι αγαπά το.
Παύλος Μαραγκουδάκης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1464
Εγγραφή: Παρ Ιαν 30, 2009 1:45 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Συνεχείς συναρτήσεις

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Παύλος Μαραγκουδάκης » Τρί Οκτ 25, 2011 4:35 pm

s.kap έγραψε: β) Να βρεθούν οι συνεχείς συνάρτησεις g:\mathbb{R} \to \mathbb{R} για τις οποίες g\left(\left|x\right|\right)+\left|g(x)\right|=2\left|x\right|,\ \forall x \in \mathbb{R}
Αν x>0 τότε g(x)+\left|g(x) \right|=2x
Αποκλείεται να είναι τότε g(x)\leq 0 γιατί τότε x\leq 0.
Άρα g(x)>0 οπότε g(x)=x για κάθε x>0.
Λόγω συνέχειας θα είναι και g(0)=0.

Έστω τώρα x<0. Θα είναι g(-x)+\left|g(x) \right|=-2x.
Είναι g(-x)=-x αφού -x>0. Άρα \left|g(x) \right|=-x για κάθε x<0.
Άρα g=f.


Στάλα τη στάλα το νερό το μάρμαρο τρυπά το,
εκείνο που μισεί κανείς γυρίζει κι αγαπά το.
BAGGP93
Δημοσιεύσεις: 1353
Εγγραφή: Σάβ Ιούλ 02, 2011 8:48 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα - Αθήνα

Re: Συνεχείς συναρτήσεις

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από BAGGP93 » Τρί Οκτ 25, 2011 5:03 pm

x^2\geq 0 για κάθε x\in R\Rightarrow f(\left\vert x\right\vert)\left\vert f(x)\right\vert\geq 0\Rightarrow f(\left\vert x\right\vert)\geq 0

για x\geq 0 έχουμε f(x)\left\vert f(x)\right\vert=x^2\Rightarrow f^4(x)=x^4\Rightarrow f(x)=x αφού f(\left\vert x\right\vert)\geq 0 για κάθεx\in R

για x<0 έχουμε f(-x)\left\vert f(x)\right\vert=x^2   (1)

όμως η αρχική για x=-x δίνει f(\left\vert x\right\vert)f(-x)=x^2 για κάθε x\in R
για x<0 f^2(-x)=x^2\Rightarrow f(-x)=x\Rightarrow f(x)=-x

άρα f(x)=x για x\geq 0 και f(x)=-x για x<0
τελευταία επεξεργασία από BAGGP93 σε Τρί Οκτ 25, 2011 5:08 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Παπαπέτρος Ευάγγελος
BAGGP93
Δημοσιεύσεις: 1353
Εγγραφή: Σάβ Ιούλ 02, 2011 8:48 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα - Αθήνα

Re: Συνεχείς συναρτήσεις

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από BAGGP93 » Τρί Οκτ 25, 2011 5:04 pm

Για τη περίπτωση όπου x<0 δεν είμαι σίγουρος


Παπαπέτρος Ευάγγελος
s.kap
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2455
Εγγραφή: Τρί Δεκ 08, 2009 6:11 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Συνεχείς συναρτήσεις

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από s.kap » Τρί Οκτ 25, 2011 6:55 pm

BAGGP93 έγραψε:Για τη περίπτωση όπου x<0 δεν είμαι σίγουρος
Δες πιο πάνω τη λύση του Παύλου.


Σπύρος Καπελλίδης
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης