εκθετική = λογαριθμική; ποτέ

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

εκθετική = λογαριθμική; ποτέ

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Τρί Οκτ 25, 2011 7:15 pm

Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων \displaystyle{e^x} και \displaystyle{\ln x} δεν τέμνονται στο \displaystyle{(0,+\infty)}
με δεδομένο την ανίσωση \displaystyle{e^x\geq x+1} για κάθε \displaystyle{x\in \mathbb{R}}.


Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6174
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: εκθετική = λογαριθμική; ποτέ

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Τρί Οκτ 25, 2011 7:42 pm

parmenides51 έγραψε:Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων \displaystyle{e^x} και \displaystyle{\ln x} δεν τέμνονται στο \displaystyle{(0,+\infty)}
με δεδομένο την ανίσωση \displaystyle{e^x\geq x+1} για κάθε \displaystyle{x\in \mathbb{R}}.
Είναι άμεσο:

\displaystyle{e^x\geq x+1>x-1\geq \ln x.}

Η \displaystyle{\ln x\leq x-1,} προκύπτει από την \displaystyle{e^x\geq x+1} αν τεθεί \displaystyle{x\to x-1.}


Μάγκος Θάνος
Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2693
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: εκθετική = λογαριθμική; ποτέ

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Τρί Οκτ 25, 2011 8:06 pm

Επίσης γεωμετρικά, όπου μας φτάνει η ανισότητα e^x>x: αν μία συνάρτηση είναι πάντοτε 'επάνω' από την διαγώνιο y=x τότε δεν μπορεί να τέμνει το είδωλο της σ' αυτήν, δηλαδή την αντίστροφο της.

Γιώργος Μπαλόγλου


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: εκθετική = λογαριθμική; ποτέ

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Παρ Οκτ 28, 2011 9:02 pm

Το σκεπτικό μου το περιέγραψε γεωμετρικά ο Γιώργος.

Ζητείται να αποδειχθεί πως η εξίσωση \displaystyle{e^x=lnx} είναι αδύνατη στο \displaystyle{(0,+\infty)}.
Θέτω \displaystyle{f(x)=e^x} , που είναι γνησίως αύξουσα στο \displaystyle{ \mathbb{R}}.
Προφανώς \displaystyle{f^{-1}(x)=lnx} με \displaystyle{x\in (0,+\infty)}.
Ζητείται να λυθεί η εξίσωση \displaystyle{f(x)=f^{-1}(x) \Leftrightarrow f(x)=x } επειδή η \displaystyle{f} είναι γνησίως αύξουσα. (απόδειξη)
Άρα \displaystyle{e^x=lnx \Leftrightarrow e^x=x} αδύνατη διότι \displaystyle{e^x\geq x+1>x}
Συνεπώς οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων \displaystyle{e^x} και \displaystyle{\ln x} δεν τέμνονται στο \displaystyle{(0,+\infty)}.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης