Για να μην χαθεί (συνδυαστική με μιγαδικούς)

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Για να μην χαθεί (συνδυαστική με μιγαδικούς)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Παρ Οκτ 28, 2011 9:22 pm

Μια προτεινόμενη από τον polysot εδώ

Έστω ο μιγαδικός αριθμός \displaystyle{z} του οποίου η εικόνα στο μιγαδικό επίπεδο βρίσκεται στον κύκλο \displaystyle{x^2 + y^2 =1}
και η συνάρτηση \displaystyle{f(x) = |xz+\bar{z}|^2, x \in \mathbb{R}}

α. Να αποδείξετε ότι \displaystyle{f(x) = x^2 + 2x Re(z^2) +1}
β. Αν \displaystyle{f(x) \geq 1} για κάθε \displaystyle{x \in \mathbb{R}} :
1. Να δείξετε ότι z^2 \in \mathbb{I}
2. Να βρεθεί το όριο \displaystyle{\lim_{x \rightarrow + \infty} \frac{f(x)}{e^x}\cdot\eta \mu \frac{1}{f(x)}}

edit: Διόρθωση του τύπου της \displaystyle{ f}
τελευταία επεξεργασία από parmenides51 σε Σάβ Οκτ 29, 2011 1:50 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2813
Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Για να μην χαθεί (συνδυαστική με μιγαδικούς)

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Πρωτοπαπάς Λευτέρης » Παρ Οκτ 28, 2011 10:14 pm

Νομίζω ότι υπάρχει θέμα με αυτή την άσκηση.

Συγκεκριμένα:

\displaystyle{f(x)=|xz+z|^2=|z(x+1)|^2=(|z|\cdot|x+1|)^2=|z|^2 \cdot |x+1|^2=1^2\cdot |x+1|^2=|x+1|^2=x^2+2x+1}

που είναι διάφορο από το ζητούμενο στο 1ο ερώτημα, δεδομένου ότι \displaystyle{Re(z^2) \neq 1}.


Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: Για να μην χαθεί (συνδυαστική με μιγαδικούς)

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Παρ Οκτ 28, 2011 10:26 pm

Νομίζω πως σώνεται γράφοντας \displaystyle{f(x)=|x+z^2|^2}}


Άβαταρ μέλους
polysot
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2546
Εγγραφή: Δευ Οκτ 19, 2009 11:43 pm
Τοποθεσία: Όπου βρω ενδιαφέρουσες προσωπικότητες...
Επικοινωνία:

Re: Για να μην χαθεί (συνδυαστική με μιγαδικούς)

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από polysot » Παρ Οκτ 28, 2011 11:35 pm

Συνάδελφοι απ' ότι βλέπω στην αρχική δημοσίευση η συνάρτηση είναι : f(x)=|{xz + \bar{z}| και για κάποιο λόγο δεν εμφανίζεται ο συζυγής στο δεύτερο z, μάλλον λόγω λάθος τύπου latex...Συγκεκριμένα χρησιμοποιούσα στην αρχική δημοσίευση την εντολή \overbar όπως φαίνεται εκεί για την εμφάνιση του συζυγούς, η οποία όμως δε λειτουργεί εδώ (μάλλον θα χρειάζεται ειδικό πακέτο latex)...
Συγγνώμη, για όσους ασχολήθηκαν αρχικά. Έτσι πάντως την έχω λυμένη...


Σωτήρης Δ. Χασάπης

Ζήσε τα μαθηματικά σου!
-----------------------------
"There is a scientific taste just as there is a literary or artistic one", Renan
"The journey of a thousand miles begins with one step.", Lao Tzu
KAKABASBASILEIOS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1508
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: Για να μην χαθεί (συνδυαστική με μιγαδικούς)

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Σάβ Οκτ 29, 2011 1:53 am

...για να μη πάει χαμένη... μετα την διευκρυνηση του Παρμενιδη...

α) Είναι f(x)={{\left| xz+\bar{z} \right|}^{2}}=(xz+\bar{z})(x\bar{z}+z)={{x}^{2}}z\bar{z}+x({{z}^{2}}+{{\bar{z}}^{2}})+z\bar{z} οπότε τελικά f(x)={{x}^{2}}+2xRe({{z}^{2}})+1

β) 1) Αφού ισχύει f(x)\ge 1 θα είναι και {{x}^{2}}+2xRe({{z}^{2}})+1\ge 1 οπότε και {{x}^{2}}+2xRe({{z}^{2}}) \ge 0 για

κάθε x\in R άρα Δ=4( Re({{z}^{2}}))2\le 0 επομένως θα είναι αναγκαία Re({{z}^{2}})=0 άρα {{z}^{2}} φανταστικός

2) Επειδή \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}^{2}}=+\infty το \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{f(x)}=0και αν

g(x)=\frac{f(x)}{{{e}^{x}}}\eta \mu \frac{1}{f(x)}=\frac{1}{{{e}^{x}}}\frac{\eta \mu \frac{1}{f(x)}}{\frac{1}{f(x)}} επειδή \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\eta \mu \frac{1}{f(x)}}{\frac{1}{f(x)}}\underset{\begin{smallmatrix}  
 x\to +\infty  \\  
 u\to 0  
\end{smallmatrix}}{\overset{u=\frac{1}{f(x)}}{\mathop{=}}}\,\underset{u\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\eta \mu u}{u}=1 και \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{{{e}^{x}}}=0 το \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,g(x)=0



Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης