Τύπος συνάρτησης

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
pito
Δημοσιεύσεις: 1754
Εγγραφή: Τρί Μάιος 18, 2010 10:41 pm
Τοποθεσία: mathematica

Τύπος συνάρτησης

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από pito » Σάβ Οκτ 29, 2011 10:32 pm

Έστω η συνάρτηση f: R\rightarrow R, συνεχής στα 0 και 1 για την οποία ισχύει f(x)=f(x^{2}) για κάθε x πραγματικό. Να βρεθεί ο τύπος της f.


1. Δεν διδάσκουμε με αυτό που λέμε και κάνουμε. Διδάσκουμε με αυτό που είμαστε.
2. Ο μέτριος δάσκαλος περιγράφει. Ο καλός δάσκαλος εξηγεί. Ο σωστός δάσκαλος αποδεικνύει. Ο σπουδαίος δάσκαλος εμπνέει. ( Γουίλιαμ Γουάρντ)
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11537
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Τύπος συνάρτησης

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Οκτ 30, 2011 12:41 am

pito έγραψε:Έστω η συνάρτηση f: R\rightarrow R, συνεχής στα 0 και 1 για την οποία ισχύει f(x)=f(x^{2}) για κάθε x πραγματικό. Να βρεθεί ο τύπος της f.
Απάντηση: Είναι σταθερή. Πρώτα δείχνουμε ότι είναι σταθερή στο (-1,1) και επίσης σταθερή (ενδεχομένως με άλλη τιμή) στο (-\infty, \, -1] \cup [1, \infty). Τέλος, λόγω συνέχειας στο 1 οι δύο στεθερές συμπίπτουν.

Έστω 0\le a <1. Τότε η ακολουθία a^{2^n} συγκλίνει στο 0. Αλλά εξ υποθέσεως f(a) = f(a^2) = f(a^4) = ... = f(a^{2^n})=... \to f(0). Άρα f(a)=f(0). Όμοια αν a>1 αλλά τώρα εξετάζουμε τα a, \sqrt a, \sqrt[4] a, ... που συγκλίνουν στο 1 και f(a)= f(\sqrt a)= f(\sqrt[4] a) = ... = f(\sqrt[2^n]{a})= ... \to f(1).
Τα αρνητικά x έχουν τις τιμές που αναφέραμε γιατί f(x)=f(x^2), x^2>0 και τα |x|, |x^2| είναι συγχρόνως μικρότερα ή μεγαλύτερα του 1.

Φιλικά,

Μιχάλης

Edit: έκανα μία διόρθωση συμπληρώνοντας μία παράλειψή μου.


Άβαταρ μέλους
pito
Δημοσιεύσεις: 1754
Εγγραφή: Τρί Μάιος 18, 2010 10:41 pm
Τοποθεσία: mathematica

Re: Τύπος συνάρτησης

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από pito » Κυρ Οκτ 30, 2011 12:45 am

Σας ευχαριστώ πολύ την ίδια λύση έχω και εγώ , ήθελα να δω αν υπάρχει και άλλος τρόπος.


1. Δεν διδάσκουμε με αυτό που λέμε και κάνουμε. Διδάσκουμε με αυτό που είμαστε.
2. Ο μέτριος δάσκαλος περιγράφει. Ο καλός δάσκαλος εξηγεί. Ο σωστός δάσκαλος αποδεικνύει. Ο σπουδαίος δάσκαλος εμπνέει. ( Γουίλιαμ Γουάρντ)
KAKABASBASILEIOS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1508
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: Τύπος συνάρτησης

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Κυρ Οκτ 30, 2011 12:56 am

....και μία μεταμεσονύκτια προσπάθεια στο απαιτητικό θέμα της pito...

Από f(x)=f({{x}^{2}})για κάθε x\in Rθα ισχύει f(x)=f({{x}^{2}})=f({{x}^{4}})=...f({{x}^{2v}})άρα και f(x)=f({{x}^{2v}}),\,\,v\in {{N}^{*}}

Για 0<\left| x \right|<1\Leftrightarrow 0<{{x}^{2}}<1 επειδή \underset{v\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{({{x}^{2}})}^{v}}=0 και f συνεχής στο 0 θα ισχύει \underset{v\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{v\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f({{x}^{2v}})=f(0) άρα

f(x)=f(0),\,\,\,0<\left| x \right|<1, x\ne 0

Επίσης επειδή για κάθε x>0 ισχύει f(\sqrt{x})=f(x) άρα και

f(\sqrt[2v]{x})=...=f(\sqrt[4]{x})=f(\sqrt{x})=f(x) θα είναι f(x)=f({{({{x}^{2}})}^{\frac{1}{v}}}) με v\in {{N}^{*}} Για \left| x \right|>1\Leftrightarrow {{x}^{2}}>1 επειδή \underset{v\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{({{x}^{2}})}^{\frac{1}{v}}}=1και και f

συνεχής στο 1 θα ισχύει \underset{v\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{v\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f({{({{x}^{2}})}^{\frac{1}{v}}})=f(1) άρα f(x)=f(1),\,\,\,\left| x \right|>1

Επειδή τώρα είναι συνεχής στο 0 και το 1 από τους τύπους που προέκυψαν πρέπει f(0)=f(1) επομένως η f(x)=c,\,\,c\in R

με πρόλαβε ο Μιχάλης...αλλά την αφήνω σαν πιο σχολική λύση...
Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
Άβαταρ μέλους
pito
Δημοσιεύσεις: 1754
Εγγραφή: Τρί Μάιος 18, 2010 10:41 pm
Τοποθεσία: mathematica

Re: Τύπος συνάρτησης

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από pito » Δευ Οκτ 31, 2011 12:45 pm

Σας ευχαριστώ πολύ για τις λύσεις σας. Θα ήθελα ακόμα να ευχαριστήσω δημόσια και τον κύριο Λουρίδα, από τον οποίο γνώρισα αυτή την όμορφη άσκηση (κάτι που ξέχασα λανθασμένα να επισημάνω από την αρχή )όπως και πολλές άλλες αλλα και αυτό το υπέροχο site-θησαυρό!


1. Δεν διδάσκουμε με αυτό που λέμε και κάνουμε. Διδάσκουμε με αυτό που είμαστε.
2. Ο μέτριος δάσκαλος περιγράφει. Ο καλός δάσκαλος εξηγεί. Ο σωστός δάσκαλος αποδεικνύει. Ο σπουδαίος δάσκαλος εμπνέει. ( Γουίλιαμ Γουάρντ)
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: panagiotis iliopoulos και 4 επισκέπτες